![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
3.1 Даны скаляр и тензор третьего ранга
. Доказать,что
- тензор третьего ранга.
3.2 Даны тензоры второго ранга и
. Доказать, что
- тензор второго ранга.
Решение задачи 3.2 Выполним покомпонентное сложение этих тензоров в повернутой системе координат. . Или,
. Отсюда следует, что сумма данных тензоров при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования компонент тензора второго ранга, что и требовалось доказать.
3.3 Даны векторы и
. Доказать, что множество величин
образуют тензор второго ранга. Такой тензор иногда называют диадой.
Решение задачи 3.3 Составим множество аналогичных величин из компонент векторов и
в повернутой системе координат
. Отсюда следует, что внешнее произведение двух векторных величин при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования компонент тензора второго ранга, что и требовалось доказать.
3.4 Даны вектор и тензор второго ранга
. Доказать, что множество величин
образуют тензор третьего ранга.
3.5 Дан вектор . Показать, что сумма
не является скалярной величиной. (Т.е. не имеет тензорную природу).
Решение задачи 5.5. Рассмотрим конкретный пример, и убедимся, что указанная сумма изменится при повороте системы координат. Пусть в исходной системе координат компонента вектора . Модуль данного вектора
. Повернем систему координат так, чтобы новая ось OX была параллельна данному вектору. Очевидно, что в такой системе координат его компоненты
. В исходной системе координат сумма
, а в новой, соответственно:
.
3.6 Дан тензор второго ранга . Доказать, что множество величин, задаваемых равенствами
, образует тензор второго ранга.
3.7 Дан тензор третьего ранга . Доказать, что множество величин
образуют тензор третьего ранга.
3.8 Даны скаляр и вектор
. Доказать, что трехкомпонентная величина
не является величиной тензорной природы.
3.9 Доказать, что свертка тензора второго ранга является скаляром:
. Такая свертка часто называется следом тензора
.
Замечание. Здесь и в дальнейшем знаки сумм будут зачастую опускаться, и использоваться правило суммирования Эйнштейна.
3.10 Даны тензоры второго ранга и
. Доказать, что множество величин
образуют тензор четвертого ранга.
3.11 Найти вектор и вектор
, где векторы
и
равны:
3.11.1
3.11.2
3.11.3
3.11.4
3.12 Найти тензор и тензор
, где
и
являются тензорами в двумерном пространстве и их компоненты равны:
3.12.1
3.12.2
3.12.3
3.13 Вычислить след тензоров и
, где тензоры
и
определены в задании 3.12
3.14 В двумерном пространстве заданы векторы и
, а так же тензоры второго ранга
и
. Найти тензорную размерность приведенных ниже величин и вычислить все их компоненты:
3.14.1 3.14.2
3.14.3 3.14.4
3.14.5 3.14.5
3.17.6 3.14.7
3.14.9 3.14.10
3.14.11 3.14.12
3.14.13 3.14.14
3.14.15 3.14.16
Компоненты векторов и
и тензоров
и
заданы ниже:
3.15 Тоже, что и в задании 3.14, но для других векторов и
и тензоров
и
с компонентами:
3.16 Тоже, что и в задании 3.14, но для других векторов и
и тензоров
и
с компонентами:
3.17 В случае двумерного пространства убедиться, что след тензора второго ранга (сумма диагональных элементов тензора) в системе координат, повернутой на угол относительно исходной, равен следу тензора в исходной системе координат.
3.18 В случае трехмерного пространства доказать, что след тензора второго ранга одинаков во всех системах координат.
Решение задачи 3.18 Вычислим след тензора в повернутой системе координат.
В данном примере мы не будем опускать символ суммирования по индексам.
. Используя далее свойство ортогональности матрицы поворота
, получим
.
Так компоненты единичного тензора равны единице при совпадающих значениях индексов, и равны нулю в случае несовпадения значений индексов, в данную сумму может внести вклад только первое, пятое и девятое слагаемые. Итого
.
3.19 Доказать, что множество величин (свертка) образует вектор, если
-тензор третьего ранга.
3.20 Доказать, что множество величин (свертка) образует тензор второго ранга, если
-тензор четвертого ранга.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 280 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!