Модели авторегрессии

Общий вид модели АР(k):

где у_t, у_{t – i} , i =1,2,..., k – значения переменной у в соответствующие моменты времени; k – порядок модели; a ₁,..., a_k – коэфф-ты модели; e_t – случайная ошибка

e_t ~ N (0, s_e ²), Cov (e)= s_e ² × E. Построение модели АР(k) типа (6.45), адекватной реальному временному ряду у_t, t =1,2,..., Т, предполагает: определение рационального порядка модели (k) и оценки значений ее коэфф-ов. Рассм. подходы к оценке параметров модели типа (6.45). Пусть M [ у_t ]=0. В противном случае вместо переменной у_t в выражении (6.45) можно рассм. центрированную , , где – оценка M [ у_t ], M [ ] = 0. Из (6.45): параметры модели a ₁,..., a_k м. б. выражены через коэфф-ты автокорреляции. Умножим (6.36) под знаком МО на у_t–i, i =1,2,..., k. Получим

где M [ у_t-i, у_t--j ] – МО произведения двух центрированных переменных у_t–i, у_t–j, представляющее собой их ковариацию g_r, на практике оцениваемую по формуле

где r = i–j, i ³ j.

В р-те для i =1,2,..., k вместо (6.46) можно записать

(6.48) получено в предположении, что M [ у_t-i, e_t ]=0 при i >0, т. к. e_t – случайная величина со свойствами “белого шума”, не имеющая корреляционной связи с предшествующими моменту t значениями рассматриваемого процесса у_t. Разделив левую и правую части (6.48) на дисперсию процесса у_ts_у ²= g ₀, получим:

Подставив в (6.49) вместо истинных значений коэфф-ов автокорреляции r_i процесса у_t их выборочные оценки r ₁, r ₂,..., последовательно для i =1,2,..., k, получим систему лин. ур-й:

в кот.известными явл. оценки коэф-в автокорреляции r ₁, r ₂,..., r_k, а неизвестными – оценки коэф-в модели АР(k) a ₁ , a ₂ ,..., a_k. Систему (6.50) называют ур-ми Юла-Уокера, а полученные на ее основе значения a ₁, a ₂,..., a_k – оценками коэфф-ов модели авторегрессии АР(k) Юла-Уокера. В векторно-матричной форме записи (6.50) можно переписать: r = R × a, (6.53), где r – вектор-столбец известных оценок коэфф-ов автокорреляции с первого по k -й включительно, r =(r ₁, r ₂,..., r_k)¢; a – вектор-столбец неизвестных оценок параметров модели, a =(a ₁, a ₂,..., a_k)¢; R – матрица, составленная из оценок коэфф-ов автокорреляции. Из (6.53): неизвестные оценки коэфф-ов модели авторегрессии определяются как a = R ^–1× r (6.54) Теоретически оценки Юла-Уокера должны обладать свойствами несмещенности и эффективности. Однако, на практике, в моделях авторегрессии большого порядка эти свойства могут не подтверждаться. Особенно это относится к свойству несмещенности. Смещенность в оценках коэфф-ов моделей авторегрессии может быть обусловлена существующей зависимостью между сдвинутыми рядами рассматриваемой переменной у _{t– 1}, у _{t– 2} и ошибкой e _t. Этой возможной зависимостью при построении системы уравнений Юла-Уокера обычно пренебрегают, полагая e_t белым шумом. Неэффективность оценок может быть вызвана плохой обусловленностью матрицы R, что, как правило, является свидетельством зависимости уже между рядами у _{t– 1}, у _{t– 2},.... При небольших порядках модели (k =1,2,3) оценки Юла-Уокера обычно являются достаточно “хорошими”. В крайнем случае их можно рассматривать как первое приближение к “оптимальным” оценкам, которые могут быть получены путем уточнения оценок Юла-Уокера на основе использования более мощных методов оценивания, например, нелинейных. Качество оценок Юла-Уокера может быть проверено путем исследования свойств ряда ошибки e_t, t =1,2,..., Т. Если ее свойства близки к характеристикам “белого шума”, то оценки Юла-Уокера можно считать “достаточно хорошими”. Об этом, в частности, может свидетельствовать критерий Дарбина-Уотсона, значение которого должно лежать примерно в интервале от 1 до 3. Для этих целей могут использоваться и другие мощные критерии, например, Бартлетта, Тейла. Обоснование целесообразности применения моделей авторегрессии. Целесообразность исп. моделей авторегрессии в анализе закономерностей временного ряда устанавливается на основе сопоставления дисперсии исходного процесса s_у ²и дисперсии ошибки модели s_e ². Для того чтобы выявить взаимосвязь между двумя этими характеристиками положим, что в (6.48) i =0. Тогда это выражение можно переписать в виде:

где g ₀= s_у ², g_i – i -й коэфф-т автоковариации. Последнее слагаемое в правой части (6.55) получено путем замены в выражении (6.46) в произведении M [ y_t ×× e_t ] переменной y_t на (6.45). Поскольку ряды у _{t– 1},..., у _t–k и e _t являются независимыми, то это произведение оказывается равным s_e ². Далее, поскольку g_i = r_i × g ₀, то выразив все g_i, i =1,2,..., k через g ₀и перенеся слагаемые с g ₀в левую часть, из выражения (6.55) получим

Подставив в (6.56) вместо r_i значения оценок коэфф-ов автокорреляции r_i и вместо параметров модели a_i их оценки а_i, i =1,2,..., k, найдем величину соотношение между дисперсией процесса s_у ²и дисперсией ошибки описывающей этот процесс модели авторегрессии (белого шума) s_e ².

Модель авторегрессии считается “достаточно хорошей”, если s_у ²>> s_e ², т. е. когда дисперсия ошибки модели много меньше дисперсии процесса. В этом случае использование модели при описании процесса y_t позволяет значительно снизить его неопределенность, выражаемую через дисперсию s_у ².