![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
этого уравнения задаёт окружность радиусом 1 с центром в точке . Аналогично находим, что решением уравнения
является окружность радиусом 1 с центром в точке (1 + 2i). Решением нашей системы уравнений являются точки пересечений этих окружностей.
Запишем z в алгебраической форме: z = x + yi.
Тогда
Отсюда, вычитая из первого уравнения второе, получим и находим x = 3/2. Подставив это значение в первое уравнение, найдём y:
;
,
. Таким образом, решениями нашей системы являются числа
,
.
б) Представление z в алгебраической форме приводит нас к неравенству x £ y. Решением этого неравенства является замкнутая полуплоскость (заштриховано).
в) Перепишем неравенство в виде
.
Учитывая, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости, приходим к выводу, что решением этого неравенства является кольцо с центром в точке (2 – 3i), внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 2.
2. Многочлены
Многочленом (или полиномом) степени ,
называется функция
, (2)
где – известные комплексные числа (коэффициенты), при этом старший коэффициент
отличен от 0, z – переменная комплексная величина. Степень многочлена f(z) обозначается deg f(z).
На множестве всех многочленов очевидным образом вводятся операции сложения и умножения.
Число z0 называется нулём многочлена f(z), если f(z0) = 0.
Теорема 1 (о делении многочленов). Для любых многочленов f(z) и g(z) существуют многочлены h(z) и r(z) такие, что:
1) f(z) = h(z) g(z) + r(z),
2) deg r(z) < deg g(z).
При этом h(z) и r(z) определяются однозначно.
Многочлен h(z) называется частным, а r(z) – остатком от деления f(z) на g(z). При этом оказывается, что deg f = deg g + deg h. Если r(z) º 0, то говорят, что f(z) делится на g(z).
Теорема 2. Число z0 является нулём многочлена f(z) в том и только в том случае,если f(z) делится на линейный многочлен (z – z0).
Число z0 называется нулём кратности m многочлена f(z), если f(z) делится на (z – z0)m и не делится на (z – z0)m+1. Можно дать другое, равносильное приведённому, определение:z0 является нулём кратности m для многочлена f(z), если f(z) представим в виде f(z) = (z – z0)m g(z), где g(z) – такой многочлен, что g(z0) ¹ 0.
Теорема 3 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени n ³ 1 имеет ровно n нулей, если каждый нуль считать столько раз, какова его кратность.
Следствием основой теоремы алгебры является то, что если z1, z2, …, zm – нули многочлена (1) кратностей k1, k2, …, km соответственно, то f(z) представим в виде
,
при этом , k1 + k2 + … +km = n.
Для того чтобы несократимая дробь (p – целое, q – натуральное) была нулём многочлена f(z) с целыми коэффициентами aj, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена a0, а число q – делителем старшего коэффициента аn. В частности, если f(z) имеет целые коэффициенты aj и an = 1, то рациональными нулями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена a0.
Теорема 4. Если коэффициенты многочлена f(z) – действительные числа и z0 = a + ib – нуль f(z), то `z0 = a – ib также является нулём этого многочлена.
Из последней теоремы следует, что если f(z) – многочлен с действительными коэффициентами, то он представим в виде
, (3)
где zj, pj, qj – действительные числа и квадратичные функции неразложимы (т.е. имеют отрицательный дискриминант),
при
.
При этом k1 + k2 + … + km + 2(r1 + r2 + … + rs) = n.
Если f(z), g(z) – многочлены, то функция называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь
называется правильной, если deg g(z) < < deg f(z). Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Если
– правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами и f(z) имеет разложение (2), то h(z) допускает следующее представление в виде суммы простейших дробей:
. (4)
Коэффициенты находятся путём приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях z у многочлена g(z) и многочлена, который получается в числителе правой части (3) после приведения суммы к общему знаменателю (метод неопределённых коэффициентов).
Пример 1. Найти все нули многочлена и разложить его на неразложимые множители с действительными коэффициентами, если известен один его нуль
.
Решение. f(z) имеет действительные коэффициенты, поэтому наряду с z1 = 2+i нулём f(z) является также z2 = `z1 = 2–i. Значит, f(z) делится на .
Разделим f(z) на уголком
Таким образом, . Найдём нули второго множителя: z2 + 2z + 10 = 0, z3,4 = –1 ± 3i. Итак, нулями многочлена f(z) являются: z1 = 2 + i, z2 = 2 – i, z3 = –1 – 3i, z4 = –1 + 3i. Многочлен f(z) разлагается на неразложимые множители (квадратные функции с отрицательными дискриминантами) следующим образом: z4 – 2z3 + 7z2 – 30z + 50 = (z2 – 4z + 5)(z2 +2z +10).
Пример 2. Дан многочлен f(z) = z4 – 6z3 + 10z2 + 2z – 15:
а) подобрать целые нули многочлена среди делителей свободного члена;
б) разложить f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами;
в) разложить f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами;
г) разложить дробь (2z – 3) / f(z) на простейшие дроби с действительными коэффициентами.
Решение. а) Делителями числа 15 являются: ±1, ±3, ±5, ±15.
В результате проверки убеждаемся, что z1 = –1 является нулём f(z):
f(–1) = 0. Следовательно, f(z) делится на
(z – z1) = z + 1. Выполним деление
Имеем: f(z) = (z + 1) (z3 – 7z2 +17z – 15). Найдём целые нули второго множителя среди делителей свободного члена (–15): ±1; ±3; ±5; ±15.
В результате проверки убеждаемся, что является нулём многочлена (z3 – 7z2 +17z – 15) и, следовательно, многочлена f(z). Значит, f(z) делится на (z – z1) (z – z2) = (z + 1) (z – 3) = z2 – 2z – 3. Разделим f(z) на этот квадратный трёхчлен:
Таким образом, f(z) = (z2 – 2z – 3)(z2 – 4z + 5). При этом второй множитель (z2 – 4z +5) не имеет целых (и даже действительных) нулей. Итак, f(z) имеет лишь два целых нуля: z1 = –1 и z2 = 3.
б) Так как z2 – 4z + 5 = 0 имеет лишь комплексные нули и
, то искомым разложением будет уже полученное
;
в) f(z) имеет 4 однократных (говорят, простых) нуля: z1 = –1,
z2 = 3, z3 = 2 – i, z4 = 2 + i. Старший коэффициент f(z) равен 1. Поэтому f(z) = (z – z1)(z – z2)(z – z3)(z – z4) или f(z) = (z + 1)(z – 3)
(z – 2 + i)(z –2– i);
г) Дробь (2z – 3)/f(z) является правильной. Имеем
.
Приведём последнюю сумму к общему знаменателю:
Так как f(z) равен знаменателю левой части, то получим равенство
A(z –3)(z2– 4z +5) + B(z + 1)(z2– 4z +5) + (Cz + D)(z +1)(z – 3) 2z – 3.
Неизвестные коэффициенты А, В, С, D можно найти, раскрыв скобки в левой части, сгруппировав слагаемое по степеням z и приравняв соответствующие коэффициенты в левой и правой частях равенства, при этом получится система из 4-х линейных алгебраических уравнений:
(A + B + C)z3 + (– 7A – 3B – 2C + D)z2 + (17A + B – 3C – 2D)z +
+(–15A + 5B – 3D) = 2z – 3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получаем систему
Решая её, находим A = 1/8, B = 3/8, C = –1/2, D =1. Итак, .
Задание 1.1
Найдите сумму, произведение и частное чисел.
1) z1= –2 + i, z2 = 4 – 3i; | 16) z1= 6 – i, z2 = –2 + 3i |
2) z1= 3 – 2i, z2 = 2 + 5i; | 17) z1= –3 + i, z2 = –1 – 3i; |
3) z1= –4 + i, z2 = 5 – 2i; | 18) z1= 2 + 4i, z2 = –5 – 3i; |
4) z1= –1 + 3i, z2 = –3 + 2i; | 19) z1= –3 + 4i, z2 = 5 + 4i; |
5) z1= 7 + 2i, z2 = –6 – i; | 20) z1= 1 – 5i, z2 = –4 – i; |
6) z1= 4 + 3i, z2 = –2 + 5i; | 21) z1= –5 + 4i, z2 = 2 –i; |
7) z1= –2 – 3i, z2 = 3 – 4i; | 22) z1= –4 + 5i, z2 = 1 + 6i; |
8) z1= 2 + i, z2 = –3 – 2i; | 23) z1= –2 – 5i, z2 = 5 – 4i; |
9) z1= –3 – 4i, z2 = 1 – 3i; | 24) z1= 3 + 4i, z2 = –2 – i; |
10) z1= 2 + 3i, z2 = –4 – 2i; | 25) z1= 3 + 2i, z2 = –5 – i; |
11) z1= 5 + i, z2 = – 4 – 3i; | 26) z1= –1 + 5i, z2 = 3 – i; |
12) z1= –6 + i, z2 = –2 – 2i; | 27) z1= 1 – 2i, z2 = –2 + 6i; |
13) z1= –5 + 3i, z2 = –5 – 2i; | 28) z1= 1 + 3i, z2 = –5 + i; |
14) z1= 2 – 4i, z2 = –3 + 5i; | 29) z1= –6 – 2i, z2 = 4 + 5i; |
15) z1= –4– 5i, z2 = 4 + 2i; | 30) z1= –5 – 4i, z2 = 6 + 2i. |
Задание 1.2
Решите уравнения.
1) 2z2 + 3z + 4 = 0; 7) 2z2 + 5z + 7 = 0;
2) z2 – 2z + 2 = 0; 8) –4z2 – 4z – 3 = 0;
3) z2 + 5z + 8 = 0; 9) 3z2 + 2z + 9 = 0;
4) z2 – 4z + 13 = 0; 10) 4z2 + z + 2 = 0;
5) –z2 + z – 2 = 0; 11) –z2 – z – 3 = 0;
6) z2 – 2z + 7 = 0; 12) 2z2 – 4z + 5 = 0;
13) 2z2 – 2z + 5 = 0; 22) 6z2 – z + 1 = 0;
14) –2z2 – z – 1 = 0; 23) –3z2 + 2z – 1= 0;
15) z2 – 6z + 10 = 0; 24) –2z2 – 8z – 15 = 0;
16) 4z2 – 2z + 1 = 0; 25) z2 – 2z + 7 = 0;
17) 2z2 + z + 5 = 0; 26) –6z2 – z – 1 = 0;
18) 5z2 + z + 1 = 0; 27) 2z2 + 6z + 11 = 0;
19) –3z2 + 4z – 2 = 0; 28) –3z2 + 6z – 10 = 0;
20) z2 – 4z + 20 = 0; 29) 4z2 – 8z + 13 = 0;
21) –6z2 + 4z – 3 = 0; 30) z2 + 4z + 17 = 0.
Задание 1.3
Выполните действия. Ответ запишите в алгебраической форме.
Задание 1.4
Решите уравнения. Запишите ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
1) ; 10)
;
2) ; 11)
;
3) ; 12)
;
4) ; 13)
;
5) ; 14)
;
6) ; 15)
7) ; 16)
;
8) ; 17)
;
9) ; 18)
;
19) ; 25)
;
20) ; 26)
;
21) ; 27)
;
22) ; 28)
;
23) ; 29)
;
24) ; 30)
.
Задание 1.5
Решите: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически).
1. a) б)
; в)
;
2. a) б)
; в)
;
3. a) б)
; в)
;
4. a) б)
; в)
;
5. a) б)
; в)
;
6. a) б)
; в)
;
7. a) б)
; в)
;
8. a) б)
; в)
;
9. a) б)
; в)
;
10. a) б)
; в)
11. a) б)
; в)
;
12. a) б)
; в)
13. a) б)
;в)
14. a) б)
; в)
15. a) б)
; в)
;
16. a) б)
; в)
;
17. a) б)
; в)
18. a) б)
; в)
;
19. a) б)
; в)
20. a) б)
; в)
21. a) б)
; в)
22. a) б)
; в)
;
23. a) б)
; в)
;
24. a) б)
; в)
25. a) б)
; в)
26). a) б)
; в)
;
27. a) б)
; в)
28. a) б)
; в)
29. a) б)
; в)
30. a) б)
; в)
Задание 1.6
Найдите все нули многочлена и разложите его на неразложимые множители с действительными коэффициентами, если известен один из его нулей z1.
1) ,
;
2) ,
;
3) ,
;
4) ,
;
5) ,
;
6) ,
;
7) ,
;
8) ,
;
9) ,
;
10) ,
;
11) ,
;
12) ,
;
13) ,
;
14) ,
;
15) ,
;
16) ,
;
17) ,
;
18) ,
;
19) ,
;
20) ,
;
21) ,
;
22) ,
;
23) ,
;
24) ,
;
25) ,
;
26) ,
;
27) ,
;
28) ,
;
29) ,
;
30) ,
.
Задание 1.7
Даны многочлены f(z) и g(z): а) Подберите нули многочлена f(z) среди делителей свободного члена; б) разложите f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами; в) разложите f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами; г) разложите дробь g(z)/f(z) на сумму простейших дробей с действительными коэффициентами.
1) f(z) = z4 – 3z3 + z2 + 4, g(z) = z2 – 2z – 3;
2) f(z) = z4 – 4z3 + 2z2 + z + 6, g(z) = z2 – 2z – 4;
3) f(z) = z4 – 5z3 + 3z2 +2 z + 8, g(z) = z2 – 3z – 5;
4) f(z) = z4 – 2z2 – 3 z – 2, g(z) = z2 + z – 2;
5) f(z) = z4 – 6z3 + 4z2 + 3z + 10, g(z) = z2 – 5z – 6;
6) f(z) = z4 – z3 – 4z2 – 5z – 3, g(z) = z2 – 3z – 5;
7) f(z) = z4 – 7z3 + 5z2 + 4z + 12, g(z) = z2 – 6z – 5;
8) f(z) = z4 – 2z3 – 6z2 – 7z – 4, g(z) = z2 – 4z – 6;
9) f(z) = z4 – 3z3 – 8z2 – 9z – 5, g(z) = z2 – 5z – 7;
10) f(z) = z4 – 4z3 – 10z2 – 11z – 6, g(z) = z2 – 6z – 8;
11) f(z) = z4 – z3 – 2z2 – 2z + 4, g(z) = z2 – 2z – 3;
12) f(z) = z4 – 3z3 – 2z2 + 2z + 12, g(z) = z2 – 3z – 3;
13) f(z) = z4 – 2z3 – 3z2 – 2z + 6, g(z) = z2 – 3z – 2
14) f(z) = z4 – 4z3 – 2z2 + 4z + 16, g(z) = z2 – 4z – 2;
15) f(z) = z4 – 3z3 – 4z2 – 2z + 8, g(z) = z2 + 4z –2;
16) f(z) = z4 – 5z3 – 2z2 + 6z + 20, g(z) = z2 – 5z – 5;
17) f(z) = z4 – 4z3 – 5z2 – 2z + 10, g(z) = z2 – 5z – 6;
18) f(z) = z4 – 6z3 – 2z2 + 8z + 24, g(z) = z2 – 6z –6;
19) f(z) = z4 + 3z3 + 2z2 – 2z – 4, g(z) = z2 – z – 3;
20) f(z) = z4 – 5z3 – 6z2 – 2z + 12, g(z) = z2 – 6z – 6;
21) f(z) = z4 + 2z3 – 2z2 – 8z – 8, g(z) = z2 – 2z – 4;
22) f(z) = z4 + z3 – 6z2 – 14z – 12, g(z) = z2 – 3z – 3;
23) f(z) = z4 – 3z3 + 4z2 – 3z + 1, g(z) = z2 – z – 3;
24) f(z) = z4 – z3 – 3z2 + 4z – 4, g(z) = z2 – 2z – 4;
25) f(z) = z4 – 4z3 + 6z2 – 5z + 2, g(z) = z2 – 2z + 4;
26) f(z) = z4 – 2z3 – 4z2 + 5z – 6, g(z) = z2 – 3z + 3;
27) f(z) = z4 – 5z3 + 8z2 – 7z + 3, g(z) = z2 + 3z – 3;
28) f(z) = z4 – 3z3 – 5z2 + 6z – 8, g(z) = z2 – 4z – 4;
29) f(z) = z4 – 6z3 + 10z2 – 9z + 4, g(z) = z2 + 4z – 4;
30) f(z) = z4 – 4z3 – 6z2 + 7z – 10, g(z) = z2 – 5z – 5.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 3902 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!