Часть I. Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам

Часть I

Таганрог 2006

УДК 517/519(075.8)

Рецензенты:

заведующий кафедрой математического анализа ТГПИ, доктор физ.-мат. наук, профессор А.А. Илюхин;

профессор РГУ, доктор физ.-мат. наук А.В. Наседкин

Авторский состав:

Афонин А.А., Бокарева Т.А., Бородицкий М.П., Гадельшин В.К., Зуев В.Н., Каибханов К.Э., Камышникова Т.В., Клово А.Г., Кодачигова Л.К., Лепский А.Е., Мархель Э.Г., Нестерова Г.Г., Никитина А.В., Ольховой А.Ф., Орехов Б.И., Панова О.Н., Сапунцов Н.Е., Саркисов Г.С., Семенистый В.В., Суховерхова Н.И., Фирсов И.П., Фомин Ю.Т., Цирулик В.Г.

Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам. Ч. I. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. –

Главный редактор – доктор физ.-мат. наук, профессор А.И. Сухинов.

Заместители гл. редактора:

кандидат физ.-мат. наук, доцент М.П. Бородицкий,

кандидат физ.-мат. наук, доцент К.Э. Каибханов.

© Таганрогский государственный радиотехнический университет, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ

"Сборник заданий" является итогом трехлетней работы авторского коллектива кафедры высшей математики. Он аккумулирует, в известной мере, многолетний опыт работы кафедры высшей математики ТРТУ.

Пособие состоит из двух частей. Часть I содержит более 4 600 задач по 12 разделам, традиционно входящим в программу подготовки по математике студентов I курса технических специальностей.

Мы надеемся, что наш "Сборник" будет полезен также студентам экономических специальностей, а некоторые разделы будут использоваться и для обучения "чистых гуманитариев".

Структура книги такова. В начале каждого раздела содержатся краткие теоретические сведения, которые, естественно, не могут заменить строгое и последовательное изложение теории в стабильных учебниках и конспектах лекций. Назначение этой информации – напомнить теоретический минимум, который непосредственно связан с решением задач. Для систематического изучения теории мы рекомендуем «Конспект лекций по курсу "Математика". Часть I», разработанный авторским коллективом под руководством доцента И.П. Фирсова. Затем приводятся подробно рассмотренные примеры решения, как правило, почти всех типовых задач данного раздела. Завершают каждый раздел варианты задач – по 30 в каждом задании.

Таким образом, в пределах каждой учебной группы есть возможность обеспечить обучаемого индивидуальным заданием. В результате обучаемый получает возможность самостоятельно приобрести навыки решения типовых задач.

Другое назначение этого пособия – обеспечить преподавателей, проводящих практические занятия, достаточным набором вариантов к контрольным работам и, собственно, типовым расчетам.

Наконец, но не в последнюю очередь, материалы настоящего пособия могут быть использованы для многоуровневого контроля и оценки качества подготовки студентов по математике. Опубликовав достаточно обширный банк аттестованных заданий, мы обозначаем ориентиры для наших студентов. Мы как бы говорим им: "Вот все, что требуется для практического овладения вузовским курсом математики. Если вы в состоянии решить подавляющее большинство наших заданий, значит, ваши практические знания по математике соответствуют стандартам, принятым в нашем университете".

Естественно, в пособии такого объема возможны (а при первом издании неизбежны) ошибки, неточности. Мы заранее благодарны всем, кто сообщит о них по адресу: 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, корпус "Д", кафедра высшей математики или по адресу электронной почты sai@tsure.ru.

Эта книга не смогла бы появиться в печатном виде, если бы не напряженная работа инженеров кафедры высшей математики:

Т.А. Десятовой, Л.А. Сахаровой и, в особенности,

С.П. Суриной и В.В. Гайдук, которым благодарны редактор и авторский коллектив.

I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ

1. Комплексные числa

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных выражений вида (x, y – действительные числа, i - некоторый символ), на котором введены операции сложения и умножения по следующим правилам:

1) ,

2) .

Из определения следует, что . Множество всех комплексных чисел обозначают символом Два комплексных числа и считаются равными, если , . Действительные числа x и y называют соответственно действительной и мнимой частями числа , при этом . Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают всеми свойствами этих операций на множестве действительных чисел , являющемся подмножеством . Разностью чисел z₁ и z₂ называют число , при этом . Частным от деления числа z₁ на число z₂ называют решение уравнения , при этом . Деление возможно, если делитель z₂ отличен от 0.

Комплексные числа могут быть отождествлены с точками плоскости с введённой прямоугольной системой координат; при таком отождествлении плоскость называют комплексной плоскостью.

Можно сказать, что устанавливается взаимно-однозначное соответствие между комплексными числами и векторами . Число называют модулем числа z и обозначают |z|. Угол j между вектором и положительным направлением оси 0x называют аргументом числа z и обозначают Arg z. Аргумент числа, в отличие от модуля, определяется неоднозначно: все аргументы числа отличаются друг от друга на 2pn, . Договариваются о главном значении аргумента Arg z; обычно берут или . Если z = x + yi и x ¹ 0, то , где Если же , то Аргумент числа z = 0 не определён.

Из определения и следует , , где , . Отсюда получаем

. (1)

Это есть тригонометрическая форма числа z.

Число называется сопряжённым к числу ; при этом пишут . Имеет место равенство . Операция сопряжения оказывается полезной при делении чисел: .

Обозначим (формула Эйлера). С помощью этой формулы из тригонометрической формы (1) получаем показательную форму числа z. В частности, , , , как функция от j, является периодической с периодом 2p.

Справедливы формулы

, ,

, .

Это делает удобным использование тригонометрической и показательной форм при умножении и делении чисел. Из этих формул следуют формулы Муавра в тригонометрической и показательной формах.

Число называется корнем n-й степени числа , если . Любое ненулевое число имеет ровно n различных корней n-й степени. Эти корни находятся по формуле

,

где k пробегает значения 0, 1, 2, …, n–1; – арифметический корень n-й степени из положительного числа r.

Модуль разности чисел равен расстоянию между точками z₁ и z₂ комплексной плоскости.

Пример 1. Найти сумму, произведение и частное чисел

z₁ = –1+2i и z₂ = 2 – 3i.

Решение. ;

;

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения

.

Таким образом,

, .

Пример 3. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форме

Решение. ,

где модуль комплексного числа z;

главное значение аргумента комплексного числа.

; ; ;

.

Найдем модули и главные значения аргументов комплексного числа.

Считаем, что .

.

.

.

,

.

Тогда

.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Обозначим , , . Найдём , , . Для этого представим каждое из чисел z₁, z₂, z₃ в показательной форме: , , ;

, , ;

, ,

.

Имеем

.

Наше уравнение принимает вид или ; ; ; ; .

Таким образом, корни исходного уравнения являются корнями третьей степени числа . Имеем , . Найдём наши корни по формуле , k = 0, 1, 2.

Отсюда получаем

,

,

.

Числа w₀, w₁, w₂ (записанные в тригонометрической форме) и являются решением нашего уравнения. Найдём показательную и алгебраическую формы этих чисел:

, , – показательная форма.

, , – алгебраическая форма.

Пример 5. Решить: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически):

а)

б) ;

в) .