Пример задачи о диете (о составлении рациона, о смеси)

Питательная смесь для цыпленка-бройлера состоит из известняка, зерна и соевых бобов, цены на которые соответственно равны 4, 15 и 40 руб. за 1 кг. При этом недельный рацион цыпленка должен содержать не менее 4, но не более 6 г кальция; не менее 110 г белка; не более 25 г клетчатки; каждый цыпленок должен получать ровно 500 г этой смеси. Кальций содержится в известняке в количестве 380 г/кг, в зерне – 1 г/кг и в бобах – 2 г/кг. Белок (и клетчатка) содержатся только в зерне и бобах в количествах соответственно 90 и 50 г/кг (20 и 80 г/кг). Составить смесь минимальной стоимости*.

Построим математическую модель этой ситуации.

В задаче необходимо определить, как составить смесь, т.е. сколько взять каждого ингредиента. Введем переменные: х₁ – масса известняка, кг; х₂ – масса зерна, кг; х₃ – масса бобов, кг.

Цель операции – сделать недельный рацион цыпленка как можно более дешевым. Его стоимость составит 4х₁ + 15х₂ + 40х₃ (руб.)

Количество кальция в известняке составит 380х₁ г, в зерне х₂ г, в бобах 2х₃ г, во всем рационе 380х₁ + х₂ + 2х₃ (г), и эта сумма должна быть не менее 4 и не более 6 г: 4 £ 380х₁ + х₂ + 2х₃ £ 6. Белок содержится только в зерне (90х₂ г) и бобах (50х₃ г), поэтому 90х₂ + 50х₃ ³ 110. Аналогично для клетчатки 20х₂ + 80х₃ £ 25.

Кроме того, общая масса этой смеси должна составлять не менее 500 г. Ее масса в килограммах составляет х₁ + х₂ + х₃. Чтобы можно было построить ограничение, необходимо перевести 500 г в килограммы: 500 г = 0,5 кг. Тогда х₁ + х₂ + х₃ = 0,5.

Тогда математическая модель запишется следующим образом:

min 4х₁ + 15х₂ + 40х₃

4 £ 380х₁ + х₂ + 2х₃ £ 6

90х₂ + 50х₃ ³ 110

20х₂ + 80х₃ £ 25

х₁ + х₂ + х₃ = 0,5

х_1-3 ³ 0