Теоретические положения. 1. Элементы электрической цепи

1. Элементы электрической цепи.

В электрических цепях постоянного тока есть пассивные и активные элементы.

Пассивный линейный элемент – резистор, имеющий электрическое сопротивление R (рис. 1.1а). Ток I и напряжение U_ab электрического сопротивления связаны законом Ома:

. (1.1)

Величина, обратная сопротивлению, есть электрическая проводимость:

. (1.2)

Активные линейные элементы – источники электромагнитной энергии.

Активные линейные элементы подразделяются на:

а) независимые источники;

б) зависимые (управляемые) источники.

Независимые источники могут быть идеальные и реальные.

Идеальный источник электродвижущей силы характеризуется напряжением U_ab, которое не зависит от тока I, и характеризуется электродвижущей силой Е (обозначения положительных направлений напряжения и тока показаны на рис. 1.1б):

. (1.3)

Внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю. Реальный источник электродвижущей силы имеет внутреннее сопротивление. Он может быть изображен в виде последовательной схемы, содержащей ЭДС Е и внутреннее сопротивление R (на рис. 1.1в показаны положительные направления Е и U_ab).

Идеальный источник тока. Ток J источника тока не зависит от напряжения U_ab (внутренняя проводимость источника тока равна нулю, сопротивление источника тока бесконечно велико).

Идеальный и реальный источники тока (с внутренней проводимостью ) приведены на рис. 1.1г, д.

Переход от схемы источника электродвижущей силы к эквивалентной схеме источника тока осуществляется по формулам:

(1.4)

2. Закон Ома.

Этот закон применяется для ветви или одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений). При написании закона Ома следует, прежде всего, выбрать произвольно некоторое положительное направление тока (рис. 1.2).

Тогда выражение для тока

. (1.5)

Для ветви цепи, содержащей ЭДС и резисторы (например, для ветви acb, рис. 1.3)

ток равен

, (1.6)

где – напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока;

– алгебраическая сумма ЭДС, находящихся в этой ветви;

– алгебраическая сумма ее сопротивлений.

3. Законы Кирхгофа.

Для написания законов Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов каждой ветви.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

. (1.7)

Токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными, а направленные от него – отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нем

. (1.8)

Направление обхода контура выбирают произвольно. При записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода, принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранного направления обхода, – отрицательными. При записи правой части равенства со знаком «+» берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода, а со знаком «–» – противоположно направлению обхода.

Законы Кирхгофа выполняются в любой момент времени.

4. Эквивалентные преобразования схем.

Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током. Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений

. (1.9)

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям.

. (1.10)

Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединены к одной паре узлов (рис. 1.4а).

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений (см. рис. 1.4а)

или . (1.11)

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R₁ и R₂ эквивалентное сопротивление

, (1.12)

при трех сопротивлениях

. (1.13)

При параллельном соединении n сопротивлений (рис. 1.4а) токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям

. (1.14)

Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным.

На рис. 1.4б приведена схема смешанного соединения. Их эквивалентное сопротивление

. (1.15)

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 1.5а), называют соединением звезда, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 1.5б) – соединением треугольник.

Формулы преобразования имеют следующий вид:

(1.16)

Замена нескольких соединенных параллельно источников ЭДС одним эквивалентным. Если имеется несколько источников ЭДС Е ₁, Е ₂,..., Е_n с внутренними сопротивлениями R ₁, R ₂,..., R_n, работающих параллельно на общее сопротивление нагрузки R (рис. 1.6а), то они могут быть заменены одним эквивалентным источником ЭДС, с внутренним сопротивлением R _эк (рис. 1.6б).

При этом

(1.17)

Ток в сопротивлении R:

. (1.18)

Токи в каждой из ветвей:

, (1.19)

где .

Замена параллельно соединенных источников тока одним эквивалентным. Если несколько источников тока с токами J ₁, J ₂,..., J_n и внутренними проводимостями G ₁, G ₂,..., G_n соединены параллельно (рис. 1.7а), то их можно заменить одним эквивалентным источником тока (рис. 1.7б), ток которого J _эк равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость G _эк равна сумме проводимостей отдельных источников

(1.20)

5. Баланс мощностей.

Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р_и, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Р_n, расходуемых в приемниках энергии

(1.21)

где – алгебраическая сумма; здесь положительны те слагаемые, для которых направления действия ЭДС E_k и соответствующего тока I_k совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно;

– алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом внешней цепи по отношению к зажимам источника тока) и его ток I_k совпадают по направлению (как, например, на рис. 1.1г), в противном случае слагаемое отрицательное;

– алгебраическая сумма; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.

6. Потенциальная диаграмма.

Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, по оси ординат – потенциалы.

Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.