Физический смысл производной

Скорость движения материальной точки в данный момент времени= производный пути по времени

S=f(t)

U=S*(t)

a=U

Правила дифференцирования (Производная суммы, произведения, частного двух функций. Производная сложной функции.).

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .

и имеют производные соответственно в точках и . Тогда

Приведем точные определения точек экстремума.

Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀.

Это наглядно показано на рисунке 1:

рисунок 1

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.

Это наглядно показано на рисунке 2:

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума

· Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

· Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке

· Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии

и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

· Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .

Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx

Неопределённый интеграл для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.

Свойства интегралов

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

Таблица основных интегралов.

Определение определённого интеграла. Его геометрический смысл и свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция илифункционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Если непрерывна на отрезке и — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Геом. смысл

определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции

Б.М и Б.Б

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел: