Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

Обратная матрица.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E
Алгоритм: 1) Вычислим определитель матрицы

2) Найдем алгебраическое дополнение
3) Составим из алгебраических дополнений матрицу

4) Сократим дроби и получим ответ

Системы линейных уравнений, метод Крамера

Системы линейных уравнений, метод Гаусса.

Метод обратной матрицы

Определение Предела функции. Односторонние пределы

Число A называется пределом функции y=f(x) при x стремящиеся к А, если для всех знаков аргумента X достаточно близких к а соотношения значения функции стремится к числу A

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

Теорема об единственности предела. Свойства пределов функции

Последовательность не может иметь больше одного предела.

1° Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ.

2° Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ.

3° Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

Ответ.

4° Константу можно выносить за знак предела:

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ.

5° Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

Ответ.

Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними. Теорема о связи бесконечно малой с пределом функции

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке ), если

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Теорема: Если функция f(x) при xàa имеет предел равный A тоесть можно представить в виде суммы предела A и бесконечно малой α(х) при Хàa

F(x)= A+ α(x)

Производные простейших элементарных функций. (таблица производных)

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.