Законы алгебры логики

При проектировании цифровых устройств пользуются аксиомами алгебры логики. Законы алгебры логики вытекают из аксиом п. 12.2. Здесь они приводятся без доказательства. Их правильность легко проверить по таблицам истинности либо путём подстановки 0 и 1 вместо соответствующих значений переменных.

Основные законы алгебры логики представляют собой комбинации из инверсий, дизъюнкций и конъюнкций над логическими переменными и возможные соотношения между ними.

1. Переместительный закон: х ₁ + х ₂ = х ₁ + х ₂; х ₁ ∙ х ₂ = х ₂ ∙ х ₁.

2. Сочетательный закон: х ₁ (х ₂ ∙ х ₃) = (х ₁ ∙ х ₂) х ₃ = х ₂ (х ₁ ∙ х ₃).

3. Распределительный закон: х ₁ ∙ х ₂ + х ₁ ∙ х ₃ = х ₁ (х ₂ + х ₃);

(х ₁ + х ₂) ∙ (х ₁ + х ₃) = х ₁ + (х ₂ ∙ х ₃).

4. Закон универсального множества: 1 + х ₁ + х ₂ +…+ х_n = 1.

5. Закон нулевого множества: 0 ∙ х ₁ ∙ х ₂ ∙…∙ х_n = 0.

6. Законы повторения: х + х +…+ х = х; х ∙ х ∙…∙ х = х.

7. Закон многократной инверсии: ; .

8. Законы дополнительности: ; .

9. Законы поглощения: х ₁ + х ₁ ∙ х ₂ = х ₁; х ₁ (х ₁ + х ₂) = х ₁.

10. Законы склеивания: ; .

11. Законы отрицания:

· функция Шеффера – это отрицание коньюнкции и читается И-НЕ

;

· функция Пирса – это отрицание дизъюнкции и читается ИЛИ-НЕ

.

Функции Шеффера и Пирса являются полными, так как посредством этих функций можно описать работу сколь угодно сложного логического устройства.

12. Закон Блэка-Порецкого:

;

.