Основные логические операции

Математический аппарат, описывающий действия цифровых устройств, базируется на алгебре логики, или, как её еще называют по имени автора, английского математика Джорджа Буля (1815-1864 г.г.), булевой алгебре. В практических целях первым применил его американский ученый Клод Шеннон в 1938 году при исследовании электрических цепей с механическими выключателями.

Алгебра логики оперирует двоичными переменами, которые условно обозначаются как 0 и 1 и подчиняются условию х = 1, если х ¹ 0 и х = 0, если х ¹ 1. В её основе лежит понятие переключательной (логической) функции вида y = f (х ₁, х ₂,…, x_n) относительно аргументов х ₁, х ₂,…, x_n, которая, как и её аргументы, может принимать только два значения: 0 и 1. Логическая функция может быть задана словесно, алгебраическим выражением и таблицей, которая называется таблицей истинности.

Действия над двоичными переменными производятся по правилам логических операций. Основных логических операций три:

· отрицание (инверсия, операция НЕ);

· логическое умножение (конъюнкция, операция И);

· логическое сложение (дизъюнкция, операция ИЛИ).

Более сложные логические преобразования можно свести к указанным трем операциям.

Инверсия выполняется над одной переменной: функция y = 1 при х = 0 и у = 0 при х = 1. Инверсия обозначается как у = (игрек равен не икс), соответственно . Операция НЕ имеет аксиомы: ; Результат двойного отрицания логической переменной равен самой логической переменной: .

Логическое умножение производится над двумя и более логическими переменными:

.

Операция И имеет следующие аксиомы: 1·0 = 0·1 = 0; 1·1 = 1, т.е. нулевое значение хотя бы одного из аргументов обеспечивает нулевой результат операции. Для функции И справедливы следующие соотношения:

х ∙ 0 = 0; х ∙ х = х; х ∙ 1 = х; .

Логическое и арифметическое умножение двоичных чисел тождественны.

Операция логического сложения так же, как и операция логического умножения, справедлива для бесконечного числа переменных.

.

Аксиомы операции ИЛИ: 1 + 1 = 1; 0 + 1 = 1 + 0 = 1; 0 + 0 = 0. Аксиома 1 + 1 = 1 не имеет аналога в двоичной арифметике, где 1 + 1 = 10. Для функции ИЛИ справедливы соотношения: х + 0 = х; х + х = х; х + 1 = 1; .