Группы и их основные свойства

Группой называется непустое множество G с определенной на нем бинарной алгебраической операцией •, которая обладает свойствами:

12) ассоциативность (а • b) • с = а • (b • с), для любых а, b, с G;

13) существует нейтральный элемент (единица), т. е. такой элемент е, что g • е = е • g = g для каждого g G;

14) каждый элементу g G имеет обратный, т.е. такой элемент h G, что g • h = h • g = е.

В любой группе единица и обратный элемент определяются однозначно в силу ассоциативности операции.

Абелевыми или коммутативными называют группы (G, •) со свойством

15) а • b = b • а для произвольных a, b G.

Например (Q,+); (R,+); (C,+) – множества рациональных, вещественных или комплексных чисел с операцией сложения. Это так называемые аддитивные группы (т.е. группы относительно сложения). Исторически сложилось, что все аддитивные группы коммутативны. Нейтральный элемент аддитивной группы называют нулем и обозначают символом 0, а обратный к а – противоположным и обозначают через -а. К аддитивным относятся группы (M_m×n (R),+) – множество прямоугольных m×n матриц с вещественными коэффициентами с операцией сложения матриц. Всякий линейный код является

группой относительно операции сложения. Мультипликативные группы – группы с операцией умножения: (Q *, •); (R *, •); (C *, •)

и т.д., где Q * = Q \{0}, R * = R \ {0}, C * = C \{0}.