Потенциальные силы

В общем случае сила зависит от положения точки, ее скорости и времени:

В отдельных случаях сила может зависеть только от части своих аргументов. В частности, существует класс сил, зависящих только от положения точки в пространстве. Это значит, что известны выражения

определяющие проекции силы на координатные оси как функции координат точки.

Пространство или часть пространства, в каждой точке которых определен некоторый вектор, называется векторным полем. В зависимости от физического смысла вектора это может быть силовое поле, поле скоростей, поле ускорений и т.д. Задание силы, зависящей от положения точки, означает, что при помощи указанных равенств одновременно задается силовое поле.

Если в указанной области пространства существует функция U=U(x,y,z), такая, что проекции силы F равны соответствующим частным производным этой функции —

то сила F называется потенциальной силой, а функция U — силовой функцией. В задачах механики чаще используется функция П=-U(x,y,z) которая отличается от силовой функции только знаком и называется потенциальной энергией, или потенциалом силы F. При помощи потенциальной энергии проекции потенциальной силы определяются равенствами:

Потенциальные силы обладают одним важным свойством совершаемая ими работа определяется только начальным и конечным положениями точки и не зависит от способа перемещения (формы пути, закона движения) из одного положения в другое. Действительно, вычисляя работу потенциальной силы, находим:

В этой формуле П1=П(x1,y1,z1) — значение потенциальной энергии в начальном положении точки; П2=П(x2,y2,z2) то же в конечном положении точки.

Важно заметить, что не всякая сила, зависящая от положения, является потенциальной. Для потенциальности требуется еще выполнение условий существования функции П=П(x,y,z). Эти условия подробно рассматриваются в математике и сводятся к выполнению следующих трех равенств: