ДУ гидростатики Эйлера

На выделенный объем действуют силы поверхностного суммарного гидростатического давления и массовые (объемные) силы. Жидкость находится в равновесии, следовательно поверхностные и массовые силы должны уравновешиваться, т. е. сумма этих сил должна быть равна нулю.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ - Силы суммарного гидростатического давления по оси х с учетом приращения дР_х будут равны

Напомним, что силы, направленные по оси, положительны, а про­тив оси — отрицательны. Аналогично можно получить величины по оси у и z.

МАССОВЫЕ (ОБЪЕМНЫЕ) СИЛЫ. Объемной силой назы­вается сила, приложенная к массе жидкости в объеме параллелепи­педа. Такой силой может быть сила тяжести p = mg. При постоянной плотности масса жидкости выделенного объема равна m = ρdxdydz. В гидравлике проекции ускорения объемных сил, отнесенных к единице массы, обозначаются X, Y, Z. Таким образом, по оси x можно записать

dPx = Xρdxdydz

(2.5)

Сумма поверхностных и массовых сил по оси x будет равна

Pxdydz – Pxdydz - dxdydz + Xρdxdydz = 0

Производя сокращения и отнеся все члены уравнения к единице массы, т. е. разделив на величину массы ρdxdydz, и учитывая второе свойство гидростатического давления, получим уравнения Л. Эйлера по всем осям

	(2.7)

Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем: изменение гидростатического давления в направлении какой-либо оси, отнесенное к плотности, равняется проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на ту же ось.

Уравнение гидростатического давления можно получить из уравнений Л. Эйлера. Если умножить каждый его член на rdx, rdy и rdz и сложить их, то получим

Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления

dP=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)

(2.9)

Из последнего уравнения гидростатического давления видно, что давление зависит от плотности жидкости и бывает больше для плотных жидкостей.

В случае, если имеется поверхность равного давления, Р =const и dP =0, поскольку ρ не равно 0, то уравнение в случае равного давления имеет вид

Xdx+Ydy+Zdz=0

(2.10)

в. Уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме следующее:

dP = ρ(Xdx+Ydy+Zdz)