Свет как электромагнитная волна. Волновое уравнение световой волны и его решение. Скорость распространения световых волн в вакууме и среде

Наиболее существенные свойства света как электромагнитной волны

1) При распространении света в каждой точке пространства происходят периодически повторяющиеся изменения электрического и магнитного полей. Эти изменения удобно изображать в виде колебаний векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в каждой точке пространства. Свет — поперечная волна, так как и .

2) Колебания векторов и в каждой точке электромагнитной волны происходят в одинаковы фазах и по двум взаимно перпендикулярным направлениям в каждой точке пространства.

3) Период света как электромагнитной волны (частота) равен периоду (частоте) колебаний источника электромагнитных волн. Для электромагнитных волн справедливо соотношение. В вакууме – длина волны наибольшая по сравнению с λ в другой среде, так как ν = const и изменяется только υ и λ при переходе от одной среды к другой.

4) Свет является носителем энергии, причем перенос энергии совершается в направлении распространения волны. Объемная плотность энергии электромагнитной поля определяется выражением

5) Свет, как и другие волны, распространяются прямолинейно в однородной среде, испытывают преломление при переходе из одной среды во вторую, отражаются от металлических преград. Для них характерны явления дифракции и интерференции.

Вычисляя дχ/дх, получаем производную функции dχ/dx=f`(x—vt). Дифференцируя еще раз, находим

Дифференцируя эту же функцию χ по t, получаем значение — v, умноженное на производную, или dχ/dt =—vf`(x — vt); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f(х — vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно cs.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью cs и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущение вида χ(х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v, но знак d2χ/dt2 не зависит от выбора x+vt или х—vt, потому что в эту производную входит только v2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью cs.

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем χ1. Это значит, что вторая производная χ1. по х равна второй производной χ1 по t, умноженной на 1/с2s. И пусть есть второе решение χ2 обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

Теперь мы хотим удостовериться, что χ(х, t) тоже представляет некую волну, т. е. χ тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

Отсюда следует, что d2χ/dx2 = (1/c2s)d2χldt2, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по χ.

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси у, тоже удовлетворяет волновому уравнению

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.