Точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики.

Утверждение 1. Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней М(Х).

Утверждение 2. Выборочная дисперсия есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии D(Х).

Отметим, что выборочная дисперсия (в среднем, полученная по разным выборкам) занижает генеральную дисперсию. Поэтому, заменяя D(Х) на , мы допускаем систематическую погрешность в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать вводят так называемую, «исправленную» выборочную дисперсию

.

Утверждение 3. «Исправленная» выборочная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии D(Х).

Пример 6.1.8. По данным примера 6.1.3. найти а) несмещенную и состоятельную оценку генеральной средней, б) смещенную и несмещенную состоятельные оценки дисперсии случайной величины Х – массы изделия.

○ а) Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней согласно утверждению 1 является выборочная средняя, из примера 6.1.3. .

б) Смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии (утверждение 2) является выборочная дисперсия (см. пример 6.1.6.).

Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии (утверждение 3) является «исправленная» выборочная дисперсия .●

Утверждение 4. Для оценки генерального среднего квадратического отклонения используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из «исправленной» дисперсии:

.