Начальные и центральные моменты статистического ряда распределения

Средняя арифметическая и дисперсия являются частными случаями более общего понятия – моментов статистического ряда распределения.

Определение 6.1.14. Начальный момент k-го порядка статистического ряда распределения определяется по формуле:

(6.1.5)

.

Очевидно, что средняя арифметическая является начальным моментом первого порядка статистического ряда распределения, т.е. .

Определение 6.1.15. Центральный момент k-го порядка статистического ряда распределения определяется по формуле:

(6.1.6)

.

Отметим, что центральный момент первого порядка для любого распределения равен нулю, а центральный момент второго порядка является дисперсией статистического ряда распределения: , а .

Определение 6.1.16. Коэффициентом асимметрии статистического ряда распределения называется число

(6.1.7)

.

Если , то распределение имеет симметричную форму, т.е. варианты, равноудаленные от х имеют одинаковую частоту. При () говорят о положительной или правосторонней (отрицательной или левосторонней) асимметрии.

Определение 6.1.17. Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) статистического ряда распределения называется число

(6.1.8)

.

Эксцесс является показателем «крутости» статистического ряда распределения по сравнению с нормальным распределением, так как эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю.

Если (), то полигон статистического ряда распределения имеет более крутую (пологую) вершину по сравнению с нормальной кривой.

Пример 6.1.7. Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс распределения массы изделий по данным примера 6.1.3.:

Х
ni

○ Коэффициент асимметрии и эксцесс найдем по формулам (6.1.7), (6.1.8) и найденных в примерах 6.1.3. и 6.1.6. и :

;

=2,028.

В силу того, что коэффициент асимметрии отрицателен и близок к нулю, распределение массы изделий обладает незначительной левосторонней асимметрией, а поскольку эксцесс значительно больше нуля, то рассматриваемое распределение отличается от нормального и его полигон имеет более крутую вершину по сравнению с нормальной кривой. ●