Проверка части С

Пожалуйста, оцените решения задач части С самостоятельно, руководствуясь указанными критериями.

Начало формы

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Максимальный балл

Решите уравнение .

Решение.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

Решив уравнение системы как квадратное относительно , находим либо . Если , то и условие выполняется. Следовательно, . Если , то . В этом случае с учетом неравенства системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения , нужно оставить только ту, для которой . Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид

.

Ответ: ; .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2

Комментировать

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Основание прямой четырехугольной призмы — прямоугольник , в котором , . Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно 13.

Решение.

Расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна 13.

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром и прямой . Рассмотрим треугольник . Его катеты равны Значит,

Ответ: 45

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2

Комментировать

Содержание критериев оценивания задачи С3	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек.
Все прочие случаи.

Решите систему неравенств

Решение.

В первом неравенстве вынесем общий множитель за скобки, а во втором воспользуемся тем, что для , и справедлива равносильность:

.

Тогда

.

Ответ: .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3

Комментировать

Содержание критериев оценивания задачи С4	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ.
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ.
Все прочие случаи.

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a причем и . Найдите AB.

Решение.

Пусть — центр окружности радиуса R, — центр окружности радиуса r, A и B, соответственно, — точки касания окружностей с их общей внешней касательной, C и D, соответственно, — с внутренней, P — основание перпендикуляра, опущенного из на .

Из прямоугольного треугольника находим, что

,

а т. к. — прямоугольник, то .

Пусть Q — основание перпендикуляра, опущенного из на продолжение радиуса .

Тогда .

Ответ: или .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3

Комментировать

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения (неучтено условие a>0); – или решение недостаточно обосновано
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение.

Первое уравнение задаёт на плоскости окружности и радиуса ,симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки и Второе уравнение — уравнение окружности радиуса с центром .

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается одной из окружностей и , но не имеет общих точек с другой окружностью.

Из точки проведём лучи и и обозначим точки их пересечения с окружностями и (см. рис.).

Заметим, что , поэтому и . Значит, если то касается но не имеет общих точек с Если то касается но не имеет общих точек с

Сравним и :

Получаем Значит, если касается в точке то пересекает в двух точках. Аналогично, если касается в точке то пересекает в двух точках. Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет.

Ответ: или

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3 4

Комментировать

Содержание критериев оценивания задачи С6	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.
Расмсотрены и проверены отдельные части ответа.
Все прочие случаи.

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и , найдите такую, знаменатель которой минимален.

Решение.

Так как

и ,

то достаточно найти правильную дробь с наименьшим знаменателем, лежащую между числами

и ,

а затем прибавить к ней число 2.

Среди дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как

, , , , , , , .

Для знаменателя 7 получаем , т. е.

.

Ответ: .

Конец формы