Плоские кривые

Кривые линии

Основные понятия и определения

Кривые линии широко приме­няются в архитектуре и строительстве. По кривым линиям очерчиваются раз­личные пространственные формы — арки, своды и т. п. Кривые линии при­меняются для образования поверхно­стей различных архитектурных объек­тов и конструкций зданий — покрытий в виде оболочек, сводов и куполов, пан­дусов и винтовых лестниц. В процессе архитектурного проектирования кри­вые линии как элемент разнообразных криволинейных форм встречаются до­вольно часто. Кривые линии могут быть результатом пересечения поверхно­стей, они могут быть краевыми конту­рами отсеков поверхностей — оболо­чек или видимыми и очерковыми конту­рами поверхностей и т. д.

Кривые линии в начертательной геометрии рассматриваются как не­прерывная совокупность последова­тельных положений движущейся точ­ки, а также как линия пересечения по­верхностей. Если все точки кривой ли­нии лежат в одной плоскости, то такая кривая называется плоской. Примером могут служить окружность, эллипс, парабола. Если кривая не лежит всеми своими точками в плоскости, то она на­зывается пространственной, напри­мер винтовые линии. Кривые линии подразделяются и по другим призна­кам. Кривая может быть описана (зада­на) аналитически, т. е. уравнением (ал­гебраическим или трансцендентным), например эллипс, парабола и др. Если образование кривой не имеет строгой закономерности, то она задается графи­чески, например горизонтали на плане местности.

Степень уравнения, которое выра­жает алгебраическую кривую, опреде­ляет порядок кривой. Геометрически порядок плоской кривой определяется числом точек ее пересечения прямой линией (как действительных, так и мни­мых точек). Порядок пространственной кривой определяется числом точек пе­ресечения кривой с плоскостью.

В начертательной геометрии кри­вые линии изучаются по их проекциям.

Свойства проекций кривой: I) в об­щем случае проекции кривой линии яв­ляются также кривыми линиями; 2) ес­ли точка принадлежит кривой линии, то ее проекции принадлежат одноимен­ным проекциям этой кривой; 3) касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекции этой кривой, если направление проецирования не параллельно касательной.

Плоские кривые

Наиболее распространенными являются плоские кривые линии. Для исследования локальных свойств пло­ской кривой строят в некоторой точке касательную и нормаль.

Касательной к плоской кривой в некоторой ее точке называется пре­дельное положение секущей, когда две общие с кривой точки сечения, стремясь друг к другу, совпадут (рис. 70, а). Каса­тельная определяет направление дви­жения точки по кривой.

Нормалью называется прямая, ле­жащая в плоскости кривой и перпенди­кулярная касательной в точке ее каса­ния.

При решении некоторых задач при­ходится проводить касательную к кри­вой. На рис. 70, б приводится прием построения касательной к кривой из точки, заданной вне кривой с помощью "кривой ошибок". Применение этого приема основано на том положении, что в искомой или заданной точке касания М длина хорды кривой равна нулю. Требуется провести через точку А каса­тельную t к кривой случайного вида. Для этого проведем через точку А пучок прямых, пересекающих кривую. Полу­ченные хорды делят пополам. Плавная кривая, проведенная через средние точ­ки ("кривая ошибок"), в пересечении с заданной кривой определит искомую точку касания М.

Свойства точек кривой. Точка кри­вой, в которой можно провести единст­венную касательную, называется глад­кой. Кривая, состоящая только из одних гладких точек, называется гладкой кривой. Точка кривой называется обык­новенной, если при движении точки по кривой направление ее движения и на­правление поворота касательной не из­меняются. Точки, не отвечающие этим требованиям, называются особыми.

На рис. 71 изображены особые точки кривой: точка перегиба А — касатель­ная пересекает кривую; точка возврата первого рода В; точка возврата второ­го рода С; точка излома D — кривая в этой точке имеет две касательные.

Понятие о кривизне плоской кривой. При исследовании свойств кривой иног­да необходимо знать кривизну в ее от­дельных точках. Направление кривой меняется от точки к точке. Чем более резко меняется направление кривой, тем больше ее кривизна. На рис. 70, а кривизна в точке А больше кривизны в точке А_{1 .} Так, например, кривизна пря­мой линии во всех ее точках равна ну­лю, а кривизна окружности для всех ее точек величина постоянная. Кривизна других кривых в каждой точке различ­на. Она определяется с помощью ок­ружности, соприкасающейся в этой точке.

Соприкасающейся окружностью называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки. Центр и радиус соприкасающейся окружности опреде­ляют центр и радиус кривизны исследу­емой кривой в данной ее точке.

Кривизной (К) плоской кривой в данной точке называется величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности (К=1/ r ). В рассматривае­мой точке кривая и соприкасающаяся окружность имеют общие касательную и нормаль. На рис. 72 показано постро­ение центра и радиуса кривизны кривой линии ВС в заданной точке А. На кри­вой по обе стороны от данной точки помечают несколько точек и проводят из них и из точки А полукасательные. На полу касательных откладывают про­извольные, но равные отрезки и через полученные точки проводят кривую ли­нию. Точке А заданной кривой соответ­ствует точка А_{1 .}, построенной кривой. В пересечении нормалей, проведенных в точках А и А_{1 .}, получим точку О — центр кривизны и величину радиуса кривизны r_A в точке А (центр и радиус соприкасающейся окружности).

Проекции плоских кривых. Важное прикладное значение имеют некоторые кривые второго порядка — эллипс, па­рабола, гипербола.

Эллипс (замкнутая кривая с двумя осями симметрии и центром) представ­ляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 73. а). Эл­липс можно построить по точкам исходя из его определения. Из точки С радиу­сом а проводят дугу, которая пересека­ет большую ось эллипса в точках F₁ и F₂ — фокусах. Затем из фокусов проводят дуги окружностей радиусами r и 2а -r. Точки пересечения дуг принадлежат кривой эллипса.

Парабола (незамкнутая кривая с од­ной осью симметрии) представляет со­бой геометрическое место точек, равно­удаленных от заданной точки (фокуса) и прямой (рис. 73, б). Параболу можно построить по точкам исходя из ее опре­деления, если заданы фокус F и прямая ON — директриса. Вершина А парабо­лы делит пополам расстояние между фокусом и директрисой.

Гипербола (кривая, состоящая из двух ветвей, с двумя осями симметрии и центром) представляет собой геомет­рическое место точек, разность рассто­яний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 73, в). Две прямые линии, проходя­щие через центр О и касающиеся гипер­болы в бесконечно удаленных точках, называют асимптотами гиперболы. Асимптоты направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2b. Гиперболу, как и параболу, можно по­строить по точкам.

Окружность — самая распростра­ненная кривая, при параллельном про­ецировании она преобразуется в эллипс (рис. 74). Описанный вокруг окружно­сти квадрат проецируется в паралле­лограмм, а окружность — в эллипс, так как хорды эллипса, параллельные од­ному из сопряженных диаметров ( ab ), делятся другим диаметром ( cd ) попо­лам. Стороны параллелограмма явля­ются касательными к эллипсу в концах сопряженных диаметров.

Построение эллипса помимо спосо­ба, показанного на рис. 73, а, довольно часто выполняют по восьми точкам (рис. 75): четыре точки (1, 2, 3, 4 ) — концы сопряженных диаметров и четы­ре точки (5, 6, 7, 8 ) — пересечения кри­вой эллипса с диагоналями параллелог­рамма. Эти точки определяют следую­щим образом. На любой полустороне параллелограмма строят равнобед­ренный прямоугольный треугольник.

Радиусом, равным катету треугольни­ка, засекают точки a и b на заданной стороне параллелограмма, а затем про­водят прямые, параллельные другим его сторонам, до пересечения с диагона­лями параллелограмма.

При построении эллипсов, как па­раллельной, так и центральной проек­ций окружности, бывает важно опреде­лить большую и малую оси эллипса, которые являются осями симметрии фигуры и дают возможность проверить точность графических построений. На рис. 76 указан способ построения осей эллипса по заданным его сопряженным диаметрам 1 — 2 и 3 — 4. Один из полу­диаметров, например О — 1, повернем до положения, перпендикулярного это­му диаметру. Через точки 1₀ и 4 прово­дим прямую и из середины отрезка 1₀ — 4 описываем дугу радиусом OS. Прямая 1₀ — 4 пересекает дугу окружности в точках Е и F (отрезок EF определяет сумму полуосей эллипса). Прямые OЕ и OF указывают направление малой CD и большой АВ осей эллипса.

Области применения кривых. Регу­лярные плоские кривые, такие, как ок­ружность и ее дуги, эллипс, парабола, довольно широко применяются в архи­тектуре. Еще одна плоская кривая, по­строение которой иногда приходится выполнять при проектировании повер­хностей висячих (вантовых) покрытий-оболочек — цепная линия.

Цепная линия — это кривая, форму которой принимает под действием силы тяжести однородная гибкая нерастяжи­мая нить с закрепленными концами. Для построения кривой (рис. 77) задаются начальной окружностью с цент­ром в точке С и некоторой точкой М₁. Чем больше СМ_1, тем положе кривая.

Величину провисания цепной линии можно выразить также соотношением диаметра начальной ок­ружности d к стреле провисания h. Чем соотношение d/h больше, тем стрела провисания меньше. Горизонтальную прямую ОМ₁ делят на некоторое число одинаковых отрезков. На прямой, сое­диняющей центр С с точкой М_1, на рас­стоянии d от точки М₁ восставим пер­пендикуляр. Точка М пересечения пер­пендикуляра с вертикальной прямой является искомой. Построение других точек ясно из чертежа. Форма кривой напоминает параболу. В точке А, кото­рая называется вершиной кривой, каса­тельная горизонтальна. Можно начи­нать построение кривой в обратном по­рядке, задавшись сначала точками М, К закрепления нити и вершиной А. Кривая линия, проведенная через точки основа­ний перпендикуляров, называется трак­трисой, или влекомой (показана слева от оси OY штриховой линией). Цепная ли­ния является эволютой трактрисы, т. е. геометрическим местом ее центров кри­визны. Цепная линия как линия рацио­нальная, отражающая свойства равнонапряженности материала, может быть использована при проектировании раз­личных архитектурных форм.

На рис. 78, а показано построение формы главки. Кривая ее очерка пред­ставляет собой сочетание двух кривых, отображающих различные условия ра­боты материала (линия О — 2 — растя­жение, линия 2 — 1 — 3 — сжатие). По­следний участок выражает линию рав­ного сопротивления — очертание изо­гнутой гибкой рейки.

Рассмотрим графическое построе­ние линии изогнутой рейки (рис. 78, б). На прямой линии выбирают точку О — полюс и вершину А кривой. Вычерчива­ют окружность, центр которой лежит на прямой OA. На отрезке АВ проводят ряд прямых, перпендикулярных ему. Из точки В проводят лучи к точкам пересечения параллельных прямых с ок­ружностью (точки 1₀, 2₀, 3₀, 4₀ ), а из точки О проводят лучи, параллельные соответствующим лучам первого пуч­ка, также до пересечения с параллель­ными прямыми. Получим искомые точки 1, 2, 3, 4. Величина параметра а относительно диаметра окружности определяет степень изгиба, если он уменьшается — изгиб увеличивается.

Зодчие прошлого, пользуясь изогну­той рейкой, определяли, а затем прори­совывали энтазис — незначительную припухлость ствола колонны.

В архитектуре и строительстве при­меняются и так называемые составные кривые. На рис. 79 приведено построе­ние коробовой кривой очертания поло­гого свода. Кривая задана пролетом АВ и подъемом ОС свода и состоит из трех дуг окружностей. Точки сопряжения дуг D и Е и центры дуг 1, 3 и 2 определяют следующим образом. На диагона­ли АС строим разность полуосей — от­резок AM. Через середину этого отрез­ка проводим прямую до пересечения с осями кривой в точках 1, 2 и 3. Точки D и Е сопряжения дуг — гладкие точки. Однако в этих точках радиусы кривиз­ны кривой меняются скачкообразно, на­пример, в точке D — два радиуса, рав­ные D — 1 и D — 2. Коробовая кривая гладкая, но не плавная.

Форма кривой может быть задана графи­чески. Так, кривая (рис. 80), по которой выпол­нено очертание тыльной части монумента По­корителям космоса (Москва, ВДНХ), была сна­чала прорисована "от руки" авторами проекта, а затем для инженерных расчетов с помощью ЭВМ путем машинного анализа чертежа было найдено уравнение кривой.

Итак, к плавной кривой должны быть предъявлены следующие требова­ния: непрерывность и существование в каждой точке одной касательной и од­ного радиуса кривизны.