Функции алгебры логики

Как уже отмечалось, значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики является функцией входящих в нее элементарных высказываний.

Например, формула является функцией трех переменных f(x, у, z). Особенностью этой функции является то обстоятельство, что ее аргументы принимают одно из двух значений: ноль или единицу, и при этом функция также принимает одно из двух значений: ноль или единицу.

Определение. Функцией алгебры логики п переменных (или функцией Буля) называется функция п переменных, где каждая переменная принимает два значения: 0 и 1, и при этом функция может принимать только одно из двух значений: 0 или 1.

Тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы выражают одну и ту же функцию.

Выясним, каково число функций га переменных. Очевидно, каждую функцию алгебры логики (как и формулу алгебры логики) можно задать с помощью таблицы истинности, которая будет содержать 2n строк. Следовательно, каждая функция п переменных принимает 2n значений, состоящих из нулей и единиц.

Таким образом, функция п переменных полностью определяется набором значений из нулей и единиц длины 2n.Общее же число наборов, состоящих из нулей и единиц, длины 2n равно. Значит, число различных функций алгебры логики п переменных равно.

В частности, различных функций одной переменной четыре, а различных функций двух переменных шестнадцать. Выпишем все функции алгебры логики одной и двух переменных.