Образование стоячей волны как результат сложения прямой и отраженной волн. Узлы и пучности стоячей волны. Граничные условия для закрепленной струны, собственные частоты струны

Рассмотрим образование стоячей волны в результате сложения падающей и отраженной волн, их можно наглядно показать на веревке. Если резко качнуть незакрепленный конец веревки, то вдоль нее побежит волна. Дойдя до конца веревки, она отразится, и в обратном направлении побежит отраженная волна. Если непрерывно качать веревку, то движения прямой и отраженной волн заметить уже нельзя. На веревке образуются узлы, в которых она неподвижна, и пучности, в которых амплитуда ее колебаний максимальна. Узлы и пучности по веревке не перемещаются. Стоячая волна в разомкнутой линии. Отражение волн тока и напряжения в разомкнутой линии происходит следующим образом. При распространении волны тока вдоль линии по ее проводам перемещаются электрические заряды. Заряды, дошедшие до конца линии, не могут дальше двигаться, на мгновение останавливаются и начинают двигаться в обратном направлении. Так как в самом конце линии движения электрических зарядов быть не может, то ток в этом месте линии всегда равен нулю, т. е. на конце линии образуется узел тока. Вследствие того что заряды на конце линии на мгновение останавливаются, там происходит скопление электрических зарядов и напряжение повышается. Поэтому в конце линии всегда образуется пучность напряжения. Итак, на разомкнутом конце линии всегда образуются узел тока и пучность напряжения. Так как узлы и пучности чередуются между собой через каждые четверть волны, то на расстоянии от конца линии будут пучность тока и узел напряжения, на некотором расстоянии - снова узел тока и пучность напряжения и т. д.

Пучность — участок стоячей волны, в котором колебания имеют наибольшую амплитуду. Противоположностью пучности является узел — участок волны, в котором амплитуда колебаний минимальна.

В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение u все время должно равняться нулю. Значит, если в струне возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны l должно укладываться целое число п полуволн: l = n∙λ/2.

Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня l, модуль Юнга материала стержня E и его плотность ρ.

Поскольку свободный конец стержня должен быть пучностью, на длине стержня установится целое число полуволн и еще четверть волны, т. е. l = nλ/2 + λ/4 = (2n + 1)λ/4. Отсюда найдем возможные значения λ_n, а затем, учитывая (1.26), и собственные частоты:

, n=0,1,2.