Где V – объем резонатора

Энергию W определим как удвоенную среднюю энергию гармонического электрического поля:

.(8.7)

Подставив (8.5) и (8.7) в (8.5), получим выражение для парциальной добротности:

,

где d _Э – угол диэлектрических потерь в заполняющей среде.

Если потери связаны только в наличием проводимости s в диэлектрике, то tgd _Э=s /w e ₀e ¢, т.е. Q_Д увеличивается с ростом резонансной частоты w.

8.3.5 Потери в стенках резонатора. Для определения парциальной добротности Q_М будем вычислять потери в стенках исходя из теории сильного скин-эффекта (5.12):

,

где S – внутренняя поверхность всех стенок резонатора.

Электромагнитную энергию выразим через магнитное поле резонатора:

.

Подставляя Р_М и W в соответствующее выражение из (8.5), получим:

,(8.8)

где учтено, что толщина скин-слоя . Обычно магнитные проницаемости диэлектрика и металла m _Д = m _М = 1.

Отношение интегралов в (8.8) при фиксированных форме резонатора и типе колебаний пропорционально линейному размеру резонатора, т.е. обратно пропорционально резонансной частоте. С учетом частотной зависимости D, мы получаем характер зависимости парциальной добротности от частоты: . С ростом резонансной частоты Q_М уменьшается.

Обычно потери в объемных резонаторах весьма малы, поэтому при расчете мощностей потерь в диэлектрике и металле можно в качестве приближения для поля реального резонатора использовать выражения для полей собственных частот (аналогично рассчитывалась погонная мощность потерь волновода в п. 5.4.1).

Вычисление парциальной добротности QS не сводится к применению некоторой общей формулы. В каждом конкретном случае, исходя из заданной формы, размеров и местоположения излучающего отверстия, ставится и решается численно-аналитическими методами граничная задача электродинамики. Резонатор и связанная с ним через отверстие структура рассматриваются как единая электродинамическая система.