Логарифмический декремент затухания и добротность. Энергия при затухающих колебаниях. Формула для добротности через потери энергии

Логарифмический декремент колебаний — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Логарифмический декремент колебаний равен декременту, умноженному на период колебаний:

Добро́тность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

• — резонансная частота колебаний
• — энергия, запасённая в колебательной системе
• — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для последовательного Колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно:

,

где , и — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Для параллельного контура, в котором индуктивность, емкость и сопротивление включены параллельно:

,

Для электрической цепи гораздо проще измерить амплитуду (ток или напряжение), чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды осцилляции, полоса на АЧХ будет от пика (примерно −3 дБ, а 1/2 это −6 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой по уровню с круговой частотой резонанса :

,

где: — коэффициент затухания, равный полуширине резонансной кривой, — число колебаний за время релаксации.

Рассмотрим процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере идеального (F_тр=0) горизонтального пружинного маятника. Выводя тело из положения равновесия, например сжимая пружину на х=А, мы сообщаем ему некоторый запас потенциальной энергии Wn 0= kA 22 (горизонтальный уровень, на котором находится маятник, выбираем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии маятника в поле силы тяжести, тогда W_п = 0). При движении тела к положению равновесия его потенциальная энергия Wn = kx 22 убывает, а кинетическая Wk = mυ 22 возрастает, так как деформация пружины уменьшается, а скорость движения тела увеличивается. В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая Wk 0= mυ 2 max 2 — максимальна. После прохождения положения равновесия скорость тела уменьшается, а пружина растягивается. Следовательно, кинетическая энергия тела убывает, а потенциальная — возрастает. В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная механическая энергия пружинного маятника равна сумме его кинетической и потенциальной энергий W = Wk + Wn.

Если смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания, изменяется с течением времени по закону x = A cos ωt, то проекция скорости на ось х υx =− ωA sin ωt (см. § 13.2). Следовательно, кинетическая энергия в любой момент времени может быть задана функцией Wk = mυ 22= mω 2 A 2sin2 ωt 2= mω 2 A 24(1−cos2 ωt), а потенциальная энергия — функцией Wn = kx 22= kA 2cos2 ωt 2= mω 2 A 24(1+cos2 ωt), так как ω 2= km, то k = mω 2.

Полная энергия W = mω 2 A 2sin2 ωt 2+ mω 2 A 2cos2 ωt 2= mω 2 A 22= kA 22.

Из этих формул видно, что W_к и W_п изменяются тоже по гармоническому закону, с одинаковой амплитудой mω 2 A 24 и в противофазе друг с другом и с частотой 2 ω (рис. 13.13), а полная механическая энергия не изменяется со временем. в момент максимального Она равна либо потенциальной энергии тела отклонения, либо его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия:

W = kA 22= mυ 2 m 2= mω 2 A 22.

Виды потерь и парциальные добротности. При расчете потерь в резонаторе приходится учитывать следующие факторы:

• потери в заполняющем диэлектрике – Р_Д;
• потери в металлических стенках резонатора – Р_М;
• потери на излучение (например, через отверстие в стенке) - РS;

Очевидно, что мощность потерь Р_п = Р_Д + Р_М + РS. Для характеристики каждого вида потерь вводят парциальные добротности:

. (8.5)