Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Нагадаємо, що дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи другої при одному і тому ж випробуванні.

Наприклад, нехай подія - поява 5-ти очок при підкиданні грального кубика, подія - поява непарного числа очок, тоді події і - сумісні.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи цих подій без ймовірності їх сумісної появи, тобто

. (1)

Доведення. Оскільки події і сумісні, то подія наступить, якщо наступить хоча б одна із трьох несумісних подій , тобто , тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:

. (2)

Подія відбувається, якщо наступить одна із двох несумісних подій: або , тоді

.

Аналогічно подія наступить, якщо наступить одна з двох несумісних подій або , тоді

.

Підставляючи вирази для і у (2), отримаємо формулу (1).

Якщо ж події і незалежні, то із (1) маємо:

. (3)

Якщо ж події і - залежні, то із (1) отримаємо:

. (4)

Приклад. Ймовірність попадання в мішень для першого стрільця , для другого - . Стрільці роблять по одному вистрілу незалежно один від одного. Яка ймовірність, що будуть влучення в мішень?

Розв’язання. Нехай подія - влучення в мішень І-го стрільця, подія - ІІ-го стрільця, - подія, що означає влучення в міщень хоча б одним стрільцем, тоді за формулою (3) маємо:

.