Билет 18. 1. Системы счисления. Основные понятия

1. Системы счисления. Основные понятия. Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления.

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀+a_-1p^-1+a_-2p^-2+... (1.1)

здесь N – число, a_j – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p >1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N=a_na_n-1 ... a₁a₀ … a_-1a_-2 ...

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.