Исследование функций и построение их графиков

4.31. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) , функция возрастает на и ; функция убывает на ; б) , функция возрастает на и ; функция убывает на ; в) , функция возрастает на ; функция убывает на ; г) , функция возрастает на и ; функция убывает на .

4.32. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке :

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

4.33. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном, при которых на облицовку стен и дна пойдет наименьшее количество материала, Объем бассейна фиксирован.

Ответ: .

4.34. Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль уже выстроенной стены. Стоимость ограждения стороны, параллельной стене, равна грн. за метр, стоимость ограждения двух других сторон составляет грн. за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если имеется всего грн?

Ответ: .

4.35. Из ведра жести требуется сделать ведроцилиндрической формы с крышкой. Площадь полной поверхности цилиндра, который можно выкроить из этого листа, составляет . Каковы должны быть размеры ведра наибольшего объема?

Ответ: .

4.36. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) — точки перегиба; функция выпукла на и ; функция вогнута на ; б) — точки перегиба; функция выпукла на ; функция вогнута на и ; в) — точка перегиба, функция выпукла на , функция вогнута на ; г) — точка перегиба, функция выпукла на , функция вогнута на .

4.37. Найти асимптоты кривых:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

4.38. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ:

Применение производной в задачах с экономическим содержанием

4.39. Функция издержек имеет вид , а доход при производстве единиц товара определяется следующим образом:

Определить оптимальное для производителя значение выпуска .

Ответ:

4.40. Определить оптимальное для производителя значение выпуска , при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу и известен вид функции издержек :

а) ; б) .

Ответ: а) ; б) .

4.41. Функция издержек имеет вид . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки. В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Ответ: .

4.42. Функция издержек имеет вид . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки. В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Ответ: .