Сходимость последовательностей случайных величин

Рассмотри плотность случайных величин (x_n).чин

Опр. Если M[(x_n-x)²]→0 при n→∞, то говорят, что плотность величин (x_n). Сходится к х в среднеквадратичном смысле. При этом х м.б. как случайной, так и нет.

Опр. Если для при n→∞ или , то говорят, что последовательность случайных величин (x_n)→ к хпо вер-ти.

Из неравенства Чебышева следует, что из сх-ти в среднеквадратичном смысле вытекает сх-ть по вер-ти.

Обратное неверно.

49. Закон больших чисел

Теорема Чебышева.

Последовательность (x_n) – последовательность попарнонезависимых х одинаковораспределенных случайных величин, имеющих конечные мат.ожидания и дисперсию M[x_n]=m, D[x_k]=δ² тогда при n→∞ среднее арифметическое этих случайных величин сх-ся вер-ти к m, т.е.

Док-во: Пусть

Решение нер-ва Чебышева

Эта теорема служит обоснованием правила среднего арифметического в теории измерений, в соответствии с которой за приближ.значение измерен.величины следует брать среднее арифметическое измерений, полученная при этом погрешность равна , что в n раз выше, чем при измерении одной величины.

Теорема Бернулли. Относительная частота появлений соб.А при n независимых испытаний в схеме Бернулли сос-ся при n→∞ по вер-ти к вер-ти появления соб.А в одном испытании, т.е.

M – число появлений соб.А в n испытаниях.

Док-во:

В схеме испытаний Бернулли m_x=np, а D_x=npq, тогда применяют к послед.выражению нер-ва Чебышева, заменяя в нем x на m, а , получаем и при n→∞ получаем утверждение теоремы. Ч.т.д..

Теорема Бернулли является обоснованием статистического определения вероятности.

50) 1.Центр.пред.теор. 2. Локал и интегр теор Муавра-Лапласа.

1.Пусть(Xn)- послед-ть независ и одинак распред случ велич для нек M[Xn]=m, D[Xn]= , n тогда зак распред-я вероят случ велич Xn = = при n→∞, стремится к норм закону N(0,1) т.е. равномерна для Замеч: Смысл ЦПТ можно счит, что сумма независ одинак распред случ величин при достат-но больших N(практ-ки при N≥30) имеет закон норм распред-я с парам-ми n, m и

2.1 Лок-я теор: где p-вер-ть появл соб-я А в одном испыт-ии, q-вер-ть соб-я , -вер-ть того, что при n незав-х испыт-й событие А появ-ся m раз. Док-во: -число появ-й соб-я А в K-том испыт-ии. Тогда общ число появ-й соб-я А в n испыт-х, т.к. испыт-я независ-ы, то и случ-е велич-ы явл незав-ми. Тогда, согл ЦПТ случ-е велич-ы к норм-у зак-у, причём как известно , => при достат-о больших n справ-а лок-я ф-ла Муавра-Лапласа

2.2 Интегр теор: Док-во: Пусть число появ-й соб-я А в одном испыт-ии, тогда -число появ-й соб-я А во всех n испыт-х. Известно, что в одном испыт-ии , . Подставляя эти знач в ф-лу ЦПТ получим отсюда на основ-ии ф-лы из ЦПТ запишем, что . Тогда замен-я здесь , , получ-м утверд-е дан-й теоремы.

51) 1.Стат-ие ряды. Их граф-е пред-е. 2.Выб-е сред-е, выб-я дисп-ия,
модиф-ая выб-я дисп-ия.

1.Стат-м рядомназыв сов-ть пар получ-х в рез-те эксп-nа. Обычно стат-ие ряды оформ-ся в виде таб-цы (табл.2), в 1-ом столбце которой стоит индекс i(№ опыта), а во 2-ом - наблюденное знач случа вел-ы , кот назыв вариантой. Если одна и та же варианта встреч в выборке нес-ко раз, то стат-ий ряд удобнее запис-ть в виде табл.3.

Табл.2 Табл.3

Инд i	Вар-та	Инд i	Вар-та	Част	Относ. Част
…	…	…	…	…	…
n		k

Част (i= ) вар-ы наз-ся число повт-й варианты в выб-е, прич . Относ-ой част-й или весом
(i= ) вар-ы наз-я отнош-е част-ы вар-ы к объему выборки n, то ест , причем

2. 1Выб-ым средним наз-ся среднее арифм-ое элементов выб-и . Согл зак больш чисел при увел-ии объема выб-и сред ариф-ое сход-я по вер-ти к мат-му ожид-ю генер-й совок-ти, то есть Таким обр-м, среднее ариф-ое может служ-ь приб-м (оценкой) мат-го ожид-я ген-ой сов-ти.

2.2 Выбор-ой диспер-ей назыв-ся

2.3Модиф-ой выбор-ой диспер-ей назыв-ся Все эти выбор-ые числ-е хар-ки завис от выб-rи и поэтому явл-cя случ-ми велич-ми. Их знач-я лишь приближ-нно равны соответ-щим числ-ым характ-ам генер-ой совок-ти.

52) 1.Св-ва точ-ых оценок: несмещ-ть, сост-ть, эффект-ть. 2.Смещенная и
несмещенная оценки дисперсии

1. Точ-ой оценкой неизв-го парам-а распред-ия случ-ой велич-ы X назыв-ся такая ф-ия от выб-ки (статистика) , знач-е кот-ой прин-ся за приб-ое знач-е истинного парам-а,то ест

1.1Оценка парам-а назыв-ся несмещ-ой, если ее мат-ое ожид-е равно оцениваемому парам-у : . Известно, что – несмещ-ая оценка мат-го ожид-ия, смещ-ая оценка дисп-ии и несмещ-ая оценка дисп-ии 1.2Оценка парам-а назыв-ся сост-ой, если она сх-я по вер-ти к точ-у знач-ю оцен-го парам-а ,то есть Сост-ой оц-кой мат-го ожид-я явл-ся выб-ое среднее а сост-ми оценками дисп-ии – выбор-ая дисп-ия и модиф-ая выб-ая дисп-ия 1.3Несмещ-ая оценка парам-а назыв-ся эффек-ой, если она имеет min дисп-ию среди всех несмещ-ых оценок этого парам-а. Для норм-го зак-а распред-ия эффек-ой оценкой мат-го ожид-ия явл-ся среднее арифм-ое а эффек-ых оценок дисп-ии не сущ-ет. Однако и явл-ся асимптотически эффек-ми оценками дисп-ии для этого закона.

2Оценкой дисп-ии случ-ой величины Xслужат выб-ая дисп-ия и модиф-ая выб-ая дисп-ия, вычис-ые по фор-ам: след-но, - явл-ся смещ-ой оценкой дисп-ии, а - несмещ-ой оценкой дип-ии

53) Расп-ия и Стьюдента

1.1 Пусть X1, X 2,…, – норм-но распред-ые независ-ыес луч-ые вел-ны, причем мат-ое ожид-ие каждой из них равно 0, а среднеквадратическое отклонение – 1, то есть . Тогда сумма квадратов этих величин: распред-а по зак-у («хи квадрат») с k степ-ми своб-ы

Рис.1

Графики плот-ти вероят-ей распр-ия

Плот-ть вер-ей этого распр-ия имеет вид , , где - гамма-фукция. График плот-и вероят-ей при малых k имеет длинный

правый «хвост», а с ростом k стан-ся почти симмет-ым(Рис.1)

Квантили расп-ия обозн-ся (Рис.2)

Рис.2

Геом-ое опис смысла квантили отвеч-щей вероят p.

1.2Пусть U-норм-о распред-ая случ велич-а, причём , a V-независ-ая от U случ-ая велич-а, распред0ая по зак-у с k степ-ми своб-ы. тогда изв-но, что случ-ая велич-а имеет t-распред-е или распред-е Стьюдента с k степ-ми своб-ы. Плот-ть вер-ей этого распред-ия имеет вид:

При распр-ие Стью-а стрем-я к норм-у и при практ-и не отлич от норм-го N(0,1) т.к. грай плот-и вер-ей распр-ия СТью-а симмет-ен относ t=0, то (Рис.3)

54) Довер-ый интер-л для мат-го ожид-ия при неизв-ой дисп-ии норм-о распред-ой ген-ой совокуп-ти.

Пусть случ-ая велич-а Xимеет норм-ое распр-ие с

Парам-ми mи . Найдем довер-ый интер-л для мат-го ожид-ия m в предположении, что дисп-ия неизв-а и задан уровень

значимости . Англ-ий математик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что стат-ка имеет распр-ие Стьюдента с k = n −1

степ-ми свободы. Так как кривая плот-ти вер-ей распр-ия Стьюдента симм-на относ-но t = 0, будем искать довер-ую обл-ть в виде:

Из рис видно, что площадь под графиком каждого из

Симм-ых «хвостов» будет равна , тогда знач-я границ интер-а совпадут с квантилями и . Таким обр-м получ-м или . Подст-в в получ-ое нерав-во знач-я и разрешив это нерав-во относ-но m, получим довер-ый интервал

для неизв-го мат-ого ожидания m норм-но распред-ой

случа-й велич-ы X с неизве-й диспер-й и задым уровнем

значи-ти :

55) Довер-ый интер-л для дисп-ии при неизв-ом мат-ом ожид-ии норм-о распред-ой ген-ой совоку-ти.()

В этом случае рассмат-ся стат-ка , имеющ-я расп-ие с k=n-1 степ-ми своб-ы, где n-объем выборки. Бум искать довер-ую обл-ть в виде:

Квантили распред-я

Как и в предыд-ем случае, бум считать площади под «хвостами»

кривой расп-ия равными по каждая. Тогда гран-ы интер-а совпадут с квантилями: , . Таким обр-м получ-м . Подст-в в получ-ое нерав-во знач-я , n и решив нерав-во относ-но получим довер-ый интервал для неизв-ой дисп-ии норм-о распред-ой случ-ой велич-ы X с неизв-ым мат-им ожид-ем и заданным уровнем значимости : Следует отметить, что если мат-ое ожидание генер-ой

совок-ти известно, то довер-ый интервал для дисп-ии будет иметь

другой вид.

Длина довер-го интер-а характ-ет точность оцен-ия и

зависит от объема выб-и n и довер-ой вер-ти . Чем < длина довер-го интер-а, тем надежнее оценка. При увелич-и объема выборки длина довер-го интер-а уменьшается.

56) 1.Статист-ая гипотеза. 2.Ошибки I и II рода. 3.Критерий согласия Пирсона

1Статист-ой гипотезой назыв-т любое утверж-е о виде или о парам-х распр-ия генер-ой совок-ти. Например, статист-ми явл гипотезы:

1. генер-ая совок-ть распред-на по норм-му зак-у или

люб другому конкретно зад-му зак-у (гипотеза о виде распр-ия);

2. если изв-о, что ген-ая совок-ть распр-на по норм-му закону, то парам-ы норм-го закона равны выб-ым характ-ам: (параметрическая гипотеза).

Гипотезу о виде распр-ия выдвигают на основе схожести

гистограммы или полигона частот с соответ-ей кривой одного из

теор-их зак-в (норм-го, равно-го, Пуассона и т. п.).

Когда предпол-ие о виде распр-ия ген-ой совокупности принято, следует проверить гипотезу о параметрах этого распр-ия. 2. -нулевая гипотеза. Альтер-ми назыв гипотезы, которые противоречат нулевой. Если отвергается , то прин-ся одна из альтер-ых гипотез. При пров-е статист-х гипотез могут быть допущены ошибки 2-х родов с вер-ми:

1. -вер-ть отклонить гипотезу , при условии, что она верна

(ошибка I рода);

2. -верть принять гипотезу , при условии, что она неверна

(ошибка II рода).

Напр-р, в радиолок-и -вер-ть проп-а сигнала, -вер-ть ложной тревоги.

Ясно, что чем меньше будут ошибки I и II рода, тем точнее статист-ий вывод. Однако при зад-ом объеме выборке одновр-но умен-ть и невозм-о. Единст-ый способ одноврем-го умен-ия и сост в увелич-и объема выборки.

56) 3.Схема прим-ия крит-я согл-я :

1) Выдв-ся гипотеза : ген-ая совок-ть имеет норм-ое распр-ие с плот-ю вер-ей с парам-и , т.е. выб-ое сред-е и модиф-ая выб-ая дисп-я прин-ся соотв-но за мат-ое ожид-е m и дисп-ию норм-но распр-ой случ-й велич. 2) По выб-е наблюд-ий случ-й велич-ы X сост-ся групп-ый вариац-ый ряд. 3) Выч-ся вер-ти . Здесь (x) – фу-ия расп-ия норм-го зак-а N(0;1), значе-я которой нах-т по табл-м. 4) Выч-ся выб-ое знач-е статистики критерия : , где N–число интерв-ов разб-ия выб-и; n–объем выб-и; -частота i-того интервала; - теор-ая вер-ть попад-ия знач-й cлуч-й велич-ы X в i-тый интервал. К.Пирсон доказал, что эта стат-а независ-о от вида распр-ия ген-ой совокуп-ти при имеет - распр-ие с степ-и своб-ы, где N–число интер-в разб-я, s–число оцен-х парам-в гипотетического зак-а распр-ия. Для норма-го законаs=2(парам-ы m и ). 5). Обл-ю отклон-я G(крит-й обл-ю) гип-ы назыв-cя такая обл-ь, при попадании в кот-ю статистики гип-а отклон-ся. Обл-ь отклон-я G выб-ся так, чтобы вер-ть попад-я в нее велич-ы , когда гипотеза верна, была равна уровню знач-ти . Тогда кри-ая точка , огранич-ая обл-ь G, опред-ся из ур-ия: . Из этой ф-лы след-т, что крит-я точка равна с квантили

Распр-ия Пирсона , отвеч-ей вер-ти с числом cтеп-й своб-ы . Таким образом, если вычис-ая выб-ая стат-а , то гипотеза прин-ся. Если то гип-а отвер-ся.

Выбор обл-и прин-ия гипотезы можно объяснить след-им

образом: знач-я теор-х вер-й и относит-ых частот

интер-в должны быть =>

=>доста-о близки, поэтому разн-и не должны быть слишком велики. Стат-ий вывод неверно форм-ть в виде: ген-я

совок-ть имеет норм-ый зак распр-ия. Можно лишь

утв-ть, что данная выборка согл-ся с гипо-ой о норм-м

распр-ии ген-ой совок-ти с парам-и на уровне значимости