Свойства. 2) . Док-во: разобьем область Д прямыми, параллельными осям координат, на n частичных областей Д

1) (тк неубывающая ф-ия)

2) . Док-во: разобьем область Д прямыми, параллельными осям координат, на n частичных областей Д_К ; -стороны прямоугольника Декарта. , т.к. то переходя в это равенстве к получим:

3)

4) условия нормировки:

5) Свойство согласованности: ;

40. Пусть Х и У-произвольные, стохастически связанные(зависимые) случайные величины с совместной функцией рапределения F(X,У). Если известно, что случ. вел-на У приняла значение У=у, то закон распределения случ вел-ны Х изменится. Новый закон распределения Х наз-ся условным законом распределения, при условии,что У=у. Характеристикой условного з-на распределения является условная функция распределения:

F(х I Y=y) = P(X<x I Y=y)

Если P(Y=y)=0, то это определение не имеет смысла.

Рассмотрим дискрет. случ. вектор (Х,У):

Пусть случ. вел-ны Х и У принимают значения (х1,х2,…, ), (у1,у2,…, ) соответсвенно, тогда:

F(х I Y= ) = P(X<x I Y= )= =

Аналогично:

F(y I X= ) =

Рассмотрим непр случ вектор:

Условная функция распределения в этом случае опред след образом:

F(х I Y=y) = P(X<x I Y=y) = = = = [применим теор о среднем где ]= = [при ] =

41 F(x I Y=y) =

Аналогично: F(y I X=x) =

fy(y I X=x) =

Из этих формул выразим совместную плотность вероят.:

f(x,y) = fy(y)fx(x I Y=y) = fx(x)fy(y I X=x) – формула произведения плотностей вероятностей.

Проинтегрируем равенство f(x,y) = fy(y)fx(x I Y=y) по у:

Аналогично:

=

Эти 2 формулы наз-ся формулами полной вероятности. Они позволяют находить маргинальную плотность 1ой случ величины по известной маргинальной плотности другой и условной плотности.

Запишем формулу Бейеса:

fx(x I Y=y) = =

Аналогично:

fy(y I X=x) =

42.Две случайные величины Х и У называются независимыми, если независимы связанные с ними события (Х=х,У=у и т.п.)

Т.к. свойство независимости соб. взаимное, то и свойство независимости случайных величин также взаимно,т.е. если Х не зависит от У то и У не зависит от Х и наоборот.

В терм. з-нов распределения условие независимости имеет вид:

F(x,y) = P((X<x)*(Y<y)) = P(X<x)*P(Y<y) = F(x)F(y), т.е. для независ. случ. величины совместная функция распределения равна произведению функций распределений отдельного компонента вектора.

Условие независимости для дискретной случайной вел-ны:

Если (Х,У) – дискретный случ вектор, то случ вел-ны Х и У независимы.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Х и У независимы, Рассмотрим прямоугольник D,содержащий т. (x_i,y_j) и не содержащий других т. случайного вектора.

D: .

P(X=x_i, Y=y_j) = P((X,Y)𝝐D)= F(a2,b2)-F(a1,b2)-F(a2,b1)+F(a1,b1) = [т.к. Х и У независимы то F(a2,b2)=F(a2)F(b2)] = (F(a2)-F(a1)) (F(b2)-F(b1)) = P (a1<X<a2) P(b1<Y<b2) = P(X=x_i) P(Y=y_j)

Достаточность: пусть P(X=x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j), докажем что в этом случае Х и У независимы:

F(x,y)= = = F(x)F(y) → Х и У независимы по определению.

Условие независимости для непрерывной случайной велечины:

Если (Х,У)- непрерывный случайный вектор, то случ величины Х и У независимы, совместная плотность вероятностей равна произведению маргин. плотностей:

f(x,y) = f(x)f(y)

Доказательство: необходимость: пусть Х и У – независимы, т.е. F(x,y)=F(x)F(y), найдем f(x,y)=

достаточность: Пусть f(x,y)=f(x)f(y) найдем

F(x,y) = → X и У независимы.

Вывод: зная маргин. законы распределения для независимой случайной величины Х и У можно найт совместный закон распределения

43. Матожидание двумерной случ величины (Х,У) наз-ся вектор М[Х,У]=(m_x, m_y)

Условные матожидания: M_x(X I Y=y_j) = I Y=yj) – для дискретной случ величины.

M_x(X I Y=y_j)= I Y=y) dx – для непрерывной случ величины.

Аналогичные формулы имеют место и для случ величины У.

Дисперсией случайного вектора (Х,У) называется вектор: D(Х,У) = (D_x, D_y)

Ковариацией случ величин Х и У называется матожидание от их произведения:

соб [X,Y]=M[XY]=K_xy

Ковариационная матрица: К=

Корреляционный момент: кор момент характеризует связь между велич Х и У. Кор моментом случ велич Х и У называется матожидание от произведения их отклонений

R_xy = M[(X-m_x)(Y-m_y)] (если ковариация центрированных случайных величин)

Вычисление корреляционного момента:

Для дискретных случ величин: R_xy = m_x)(y_j – m_y)p_ij = p_ij – m_xm_y= M[XY]-M[X]M[Y]

для непрер случ величин:

R_xy = (x-m_x)(y_j – m_y)f(x,y)dxdy = xyf(x,y)dxdy - m_xm_y

Свойства корреляционного момента:

1. Rxx=Dx, Ryy=Dy

2. Ryy=Rxy

Учитывая эти свойства вектор дисперсии можно не рассматривать как отдельную числовую характеристику, а использовать корреляционную матрицу.

R=

Коэффициент корреляции: Корреляционный момент зависит от единиц измерения Х и У. Безразмерным аналогом корреляционного момента является коэф корреляции

r_xy= =

Безразмерная корреляционная матрица имеет вид: r= =

48. Неравенство Чебышева

Нер-во Чебышева позволяет оценить нер-во для сл.вел. Х , где - заданное положительное число.

Для центриров. а вел-ны нер-во выглядит:

В частности, если , получим:

Таким образом для произвольной а величины правило 36 выполняется в вероятностью не менее, чем 0,(8).