Гл. 12 Логические схемы и функции

1. Аксиомы алгебры логики. Переменные, рассматриваемые в алгебре логики, могут принимать только два значения - 0 или 1. В алгебре логики определены: отношение эквивалентности (обозначается знаком =) и операции: сложения (дизъюнкции), обозначаемая знаком v, умножения (конъюнкции), обозначаемая знаком & или точкой, и отрицания (или инверсии), обозначаемая надчеркиванием или апострофом'. Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

2. Логические выражения. Запись логических выражений обычно осуществляют в конъюнктивной или дизъюнктивной нормальных формах. В дизъюнктивной форме логические выражения записываются как логическая сумма логических произведений, в конъюнктивной форме - как логическое произведение логических сумм. Порядок действии такой же, как и в обычных алгебраических выражениях. Логические выражения связывают значение логической функции со значениями логических переменных. 3. Логические тождества. При преобразованиях логических выражений используются логические тождества:

4. Логические функции. Любое логическое выражение, составленное из п переменных x_n,x_n-1... X₁ с помощью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию п переменных. Такую функцию называют логической. В соответствии с аксиомами алгебры логики функция может принимать в зависимости от значения переменных значение 0 или 1. Функция п логических переменных может быть определена для 2ⁿ значений переменных, соответствующих всем возможным значениям n-разрядных двоичных чисел. Основной интерес представляют следующие функции двух переменных х и у:

- логическое умножение (конъюнкция),

- логическое сложение (дизъюнкция),

- логическое умножение с инверсией,

- логическое сложение с инверсией,

— суммирование по модулю 2,

- равнозначность.

5. Логические схемы. Физическое устройство, реализующее одну из операций алгебры логики или простейшую логическую функцию, называется логическим элементом. Схема, составленная из конечного числа логических элементов по определенным правилам, называется логической схемой. Основным логическим функциям соответствуют выполняющие их схемные элементы.

6. Таблица истинности. Так как область определения любой функции п переменных конечна (2n значений), такая функция может быть задана таблицей значений f(Vi), которые она принимает в точках Vi, где i= 0,1. -.2n—1. Такие таблицы называют таблицами истинности. В таблице 12.1 представлены таблицы истинности, задающие указанные выше функции.

Таблица 12.1

i	Значения переменных	функции
	X	У	fl	f2	f3	f4	f5	f6
			о
			о
			о

i= 2х+у - число, образованное значениями переменных.

7. Карты Карно и диаграммы Вейча. Если число логических переменных не превышает 5-6, преобразования логических уравнений удобно производить с помощью карт Карно или диаграмм Вейча. Цель преобразований - получение компактного логического выражения (минимизация). Минимизацию производят объединением наборов (термов) на карте Карно. Объединяемые наборы должны иметь одинаковые значения функции (все 0 или все 1). Для наглядности рассмотрим пример: пусть требуется найти логическое выражение для мажоритарной функции fm трех переменных X, Y, Z, описываемой следующей таблицей истинности:

Таблица 12.2. Мажоритарная функция

N	X	Y	Z	fm

Составим карту Карно. Она представляет собой нечто похожее на таблицу, в которой наименования столбцов и строк представляют собой значения переменных, причем переменные располагаются в таком порядке, чтобы при переходе к соседнему столбцу или строке изменялось значение только одной переменной. Например, в строке XY таблицы 12.3 значения переменных XY могут быть представлены следующими последовательностями: 00,01,11,10 и 00,10,11,01. Таблицу заполняют значениями функции, соответствующими комбинациям значений переменных. Полученная таким образом таблица выглядит, как показано ниже (таблица 12.3). Таблица 12.3. Карта Карно мажоритарной функции

На карте Карно отмечаем группы, состоящие из 2n ячеек (2, 4, 8,...) и содержащие 1, т. к. они описываются простыми логическими выражениями. Три прямоугольника в таблице определяют логические выражения XY, XZ, YZ. Каждый прямоугольник, объединяющий две ячейки, соответствует логическим преобразованиям:

Компактное выражение, описывающее функцию, представляет собой дизъюнкцию полученных при помощи карт Карно логических выражений. В результате получаем выражение в дизъюнктивной форме: fm = XY v XZ vYZ. Для реализации функции мажоритарной логики трех логических переменных необходимо реализовать схему, которая при подаче на ее входы трех сигналов формировала бы на выходе сигнал, равный сигналу на большинстве входов (2 из 3 или 3 из 3). Эта схема полезна для восстановления истинного значения сигналов, поступающих на 3 входа, если возможен отказ на одном из входов. Для реализации функции на элементах 2И-НЕ преобразуем полученное выражение в базис элементов И-НЕ, т. е. запишем выражение при помощи операций логического умножения и инверсии. Проверить справедливость каждого из приведенных выражений для fm можно прямой подстановкой значений X, Y, Z из таблицы 12.2:

Соответствующая схемная реализация приведена на рис. 12.1.

Вопросы

1. Что такое логическая переменная и логический сигнал? Какие значения они могут принимать?

2. Что такое логическая функция?

3. Может ли быть логическим сигналом уровень напряжения? Состояние контакта? Свечение светодиода?

4. Какая логическая функция описывает поведение системы пуска трехфазного двигателя (двигатель может быть запущен, если три датчика подтверждают наличие фазных напряжений)?

5. Датчик температуры состоит из контакта, который замыкается (размыкается) при превышении температуры. При замыкании контакта вырабатывается сигнал логической единицы, при размыкании - логического нуля. Какую схему следует использовать для обнаружения срабатывания хотя бы одного датчика пожарной сигнализации? а) при повышении температуры в датчике происходит замыкание контакта; б) при повышении температуры в датчике происходит размыкание контакта

6. Какой сигнал должен быть подан на неиспользуемые входы элемента 8И-НЕ, если требуется реализовать функцию 5И-НЕ?

7. Какой сигнал должен быть подан на неиспользуемый вход элемента 4ИЛИ-НЕ при реализации функции 3ИЛИ-НЕ?

8. В вашем распоряжении имеются логические элементы 2И-НЕ. Как на их основе сделать схему 3И? Достаточно ли 4-х элементов 2И-НЕ для выполнения этой задачи?

9. Как будет вести себя схема И, если на одном из входов вследствие внутренней неисправности будет постоянно присутствовать логическая единица? Логический нуль? Составьте таблицу истинности для неисправной схемы 3И. Определите поведение схемы И-НЕ при тех же условиях.

10. Как будет вести себя схема ИЛИ, если на одном из входов вследствие внутренней неисправности будет постоянно присутствовать логическая единица? Логический, нуль? Составьте таблицу истинности для неисправностей схемы 3ИЛИ. Определите поведение схемы ИЛИ-НЕ при тех же условиях.

Гл. 13 Исследование дешифраторов

1. Комбинационные схемы. Комбинационной схемой называется логическая схема, реализующая однозначное соответствие между значениями входных и выходных сигналов. Для реализации комбинационных схем используются логические элементы, выпускаемые в виде интегральных схем. В этот класс входят интегральные схемы дешифраторов, шифраторов, мультиплексоров, демультиплексоров, сумматоров.

В этой главе для удобства вместо схемы дешифратора используется схема демультиплексора, это возможно благодаря сходству алгоритмов работы.

2. Дешифраторы. Дешифратор - логическая комбинационная схема, которая имеет п информационных входов и 2n выходов. Каждой комбинации логических уровней на входах будет соответствовать активный уровень на одном из 2n выходов. Обычно п равно 2,3 или 4. На рис. 13.1 изображен дешифратор' с п = 3, активным уровнем является уровень логического нуля. На входы С, В, А можно подать следующие комбинации логических уровней: 000, 001, 010...Ill, всего 8 комбинаций. Схема имеет 8 выходов, на одном из которых формируется низкий потенциал, на остальных - высокий. Номер этого единственного выхода, на котором формируется активный (нулевой) уровень, соответствует числу N, определяемому состоянием входов С, В, А следующим образом: N = С22 + В2' + А'2°. Например, если на входы подана комбинация логических уровней 011, то из восьми выходов микросхемы (YO, Y1...Y7) на выходе с номером N=3 установится нулевой уровень сигнала (Y3=0), a все остальные выходы будут иметь уровень логической единицы. Этот принцип формирования выходного сигнала можно описать следующим образом:

Видно, что уровень сигнала на выходе Y3 описывается выражением:

В таком же виде можно записать выражения для каждого выхода дешифратора:

Помимо информационных входов А,В,С дешифраторы обычно имеют дополнительные входы управления G. Сигналы на этих входах, например, разрешают функционирование дешифратора или переводят его в пассивное состояние, при котором, независимо от сигналов на информационных входах, на всех выходах установится уровень логической единицы. Можно сказать, что существует некоторая функция разрешения, значение которой определяется состояниями управляющих входов. Разрешающий вход дешифратора может быть прямым или инверсным. У дешифраторов с прямым разрешающим входом активным уровнем является уровень логической единицы, у дешифраторов с инверсным входом — уровень логического нуля. На рис. 13.1 представлен дешифратор с одним инверсным входом управления. Принцип формирования выходного сигнала в этом дешифраторе с учетом сигнала управления описывается следующим образом:

У дешифратора с несколькими входами управления функция разрешения, как правило, представляет собой логическое произведение всех разрешающих сигналов управления. Например, для дешифратора 74138 с одним прямым входом управления G1 и двумя инверсными G2A и G2B (рис. 13.2) функции выхода Yi и разрешения G имеют вид:

Обычно входы управления используются для каскадирования (увеличения разрядности) дешифраторов или при параллельной работе нескольких схем на общие выходные линии.

3. Использование дешифратора в качестве демультиплексора. Дешифратор может быть использован и как демультиплексор - логический коммутатор, подключающий входной сигнал к одному из выходов. В этом случае функцию информационного входа выполняет один из входов разрешения, а состояние входов С, В и А задает номер выхода, на который передается сигнал со входа разрешения.

Вопросы

1. Какие логические функции выполняет дешифратор?

2. Каково назначение входов управления в дешифраторе, как влияет сигнал управления на выходные функции дешифратора?

3. Какие дополнительные логические элементы необходимы для реализации логических функции п аргументов на основе дешифратора с прямыми выходами? А с инверсными?

4. Как выглядит схема дешифратора 2х4, выполненная в базисе И, ИЛИ, НЕ? Входы дешифратора А, В, выходы Y₀, Y₁, Y₂, Y₃. Сколько элементов каждого типа для этого требуется?

5. Как надо видоизменить схему дешифратора 2х4 в предыдущем случае, чтобы оснастить её прямым управляющим входом? Инверсным? Обозначьте входы дешифратора А, В, управляющий вход G или , выходы Y₀, Y₁, Y₂, Y₃.

6. Как из двух дешифраторов 2х4 сделать один дешифратор 3х8?

7. Как на основе нескольких дешифраторов 2х4 с управляющим входом сделать дешифратор 4х16? Сколько дешифраторов 2х4 потребуется для решения этой задачи, если не использовать другие элементы?

8. Как на основе дешифратора 2х4 сделать схему, фиксирующую совпадение двух бит (А=В=1, А=В=0) и реализующую функцию

9. Как на основе дешифратора сделать логическую схему, реализующую функцию