Состоятельная оценка неизвестного параметра С В

Состоятельной называют статистическую оценку, кото­рая при n—»¥ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п —»¥о стремится к нулю, то такая оценка оказы­вается и состоятельной.

Вопрос

• Несмещенность.

Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно , в противном случае оценка называется смещенной.
Требование несмещенности очень важно при малом количестве опытов.

Итак, статистической оценкой неизвестного пара­метра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

^ Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Ниже указаны эти требования.

Несмещенной называют статистическую оценку Q*, мате­матическое ожидание которой равно оцениваемому пара­метру Q при любом объеме выборки, т. е.

M (Q*) = Q.

Смененной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

31 вопрос

Эфективная оценка

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую воз­можную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (n вели­ко!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Вопрос

метод максимального правдоподобия для отыскивания оценок

Пусть есть выборка из распределения , где — неизвестные параметры. Пусть — функция правдоподобия, где . Точечная оценка

называется оце́нкой максима́льного правдоподо́бия параметра . Таким образом оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функ

§ Оценки максимального правдоподобия, вообще говоря, могут бытьсмещёнными (см. примеры), но являются состоятельными, асимптотически эффективными и асиптотически нормальными оценками. Асимптотическая нормальность означает, что

где - асимптотическая информационная матрица

Асимптотическая эффективность означает, что асимптотическая ковариационная матрица является нижней границей для всех состоятельных асимптотически нормальных оценок.

Вопрос

Предлагается метод уточнения эффективных оценок генеральных моментов заданных распределений непрерывных случайных величин по малым выборкам. Метод применим в случаях, когда заранее известны пределы погрешности оценок генеральных моментов, полученных тем или иным способом. Метод зависит от величины разброса значений искомых моментов. Дисперсия оценок предлагаемым способом примерно в два раза меньше дисперсии эффективной оценки.