История экономических учений

Вопрос в том, существуют ли интенсивность производственных процессов, уровень цен, процента и темп роста, удовлетворяющие двум группам условий, и каково их экономическое содержание?

Нейман доказал, что при некоторых условиях решение существу­ет, причем максимально возможный темп роста равен минимально допустимому проценту, т.е. max g = min r.

Это означает, что если выбран некий g, и для некоторых товаров условия (I) нарушаются, то требуется уменьшать g до тех пор, пока для всех товаров эти условия не будут выполняться, причем для како­го-то (одного или нескольких товаров) как равенство. Этот товар (или несколько товаров) и будет экономическим, т.е. иметь положитель­ную цену. Темп роста производства будет в этом случае максималь­ным из возможных.

Если г зафиксирован на очень низком уровне, многие процессы оказываются прибыльными — условия (II) нарушаются. Повышая г, можно добиться ситуации, когда для всех процессов условия будут выполняться, причем по крайней мере для одного процесса — как ра­венство. Определенный в этом равенстве г и будет минимальным из допустимых.

Нейман показал, что модель расширяющейся экономики может трактоваться как игра двух участников с нулевой суммой, один из участников которой максимизирует выигрыш — темп роста эконо­мики при ограничениях на предложение, а другой — минимизирует проигрыш — процент при ограничениях на прибыль. Он доказал, что при некоторых условиях существует седловая точка (решение) такой игры, характеризующаяся равенством значений обеих целевых функ­ций — темпа роста и процента. Это и есть точка равновесия, задаю­щая траекторию сбалансированного роста.

Полученный фон Нейманом результат позволяет осознать важ­ный аспект равновесия, который не был выявлен в модели Вальраса, а именно: равновесие — это максимум выпуска в денежном выраже­нии и минимум доходов факторов. Этот вывод представляет собой выраженное другим языком утверждение Смита о равенстве стоимо­сти произведенной продукции и суммы доходов в экономике.

Теория игр открыла новые способы доказательства существова­ния равновесия в моделях типа Вальраса и анализа ситуаций, кото­рые традиционный равновесный подход исключал из рассмотрения. Начав с простого случая так называемых антагонистических игр с двумя участниками, когда проигрыш одного является выигрышем Другого, теория игр постепенно перешла к анализу более сложных ситуаций - неантагонистических игр с п участниками. Применитель­но к миру экономики это, в частности, означает отказ от идеи, со-

гласно которой цены на рынке не зависят от поведения отдельного участника. Иными словами, игровой подход позволяет перейти от мира атомизированных и не влияющих на рынок индивидов к более реалистичной ситуации, когда от каждого участника зависит рыноч­ная ситуация, например, как в случае олигополии.

Важную роль в совершенствовании методов доказательства суще­ствования равновесия сыграла теорема Какутани о неподвижной точке (1941), которая, в частности, позволила предложить элегантную иллю­страцию процесса «tatonnement» на языке современной математики¹⁴.

В середине 50-х годов, основываясь на этой теореме, а также ис­пользуя достижения в области линейного программирования, ряд ученых й прежде всего нобелевские лауреаты К. Эрроу (1 972) и Ж. Де-бре (1983) предложили более простые и общие, чем у Вальда, теоре­мы существования единственного и экономически значимого реше­ния модели Вальраса. Модель Эрроу—Дебре (1954) является класси­ческой в области современной теории общего равновесия¹⁵. Она пред­ставляет собой модифицированный вариант модели Вальраса, в ко­торую включено множество производственных возможностей вмес­то фиксированных производственных коэффициентов, а вместо функций полезности, обладающих хорошими свойствами, введены функции предпочтения.

В модели Эрроу—Дебре фирмы трансформируют затраты в вы­пуск, причем кривые трансформации выпуклы, отсутствует эконо­мия на масштабах; домашние хозяйства предлагают труд и потребля­ют положительное количество товаров; их выбор определен функци­ей полезности, у которых кривые безразличия выпуклы; у домашних хозяйств есть положительное количество каждого товара и они пре­тендуют на некоторую долю прибыли.

При этих предпосылках они доказали, что существует конкурент­ное равновесие, которое они определили следующим образом:

максимум прибыли при заданных ценах;

максимум полезности при заданных ценах и долях в прибылях;

цены неотрицательны;

если существует избыточное предложение товара, его цена равна нулю.

¹⁴ Суть этой теоремы состоит в следующем: если к компактному и вы­пуклому множеству применяется полунепрерывное сверху точечное отобра­жение этого множества в себя, то по крайней мере одна точка этого множе­ства останется неподвижной, т.е. совпадет со своим отображением. Очевид­но, что именно эта неподвижная точка и будет точкой равновесия.

¹⁵ Arrow К., Debreu G. Existence of an Equibibrium for a Competitive Economy//Econometrica. 1954. Vol. 22. № 2.

При доказательстве теоремы Эрроу и Дебре использовали теоре­му Нэша о решении игры с и участниками и показали эквивалент­ность понятий конкурентного равновесия и равновесия игры с и уча­стниками.

Существовали и несколько иные подходы к доказательству рав­новесия в модели Вальраса. Так, Л. Маккензи использовал при дока­зательстве теоремы Эрроу-Дебре теорему о неподвижной точке и, что особенно важно, предложил достаточно простую интерпретацию про­цесса поиска равновесия, использовав идею единичного симплекса как пространства допустимых векторов цен¹⁶. Процесс поиска рав­новесных цен он трактовал как отображение множества цен в себя, причем процесс отображения проходит промежуточную стадию ото­бражения цен v количества'. Таким образом, процедура отображения становится интерпретацией процесса «tatonnement», неподвижная точка — точкой равновесия, а ее координаты — ценами равновесия.

История проблемы существования равновесия достигла своей кульминации, когда в 1959 г. Ж. Дебре опубликовал итоговую работу «Теория стоимости»¹¹, где с учетом всего сделанного ранее не только была изложена аксиоматика системы общего равновесия и было пред­ложено доказательство существования равновесия, но и были лред-ставлены доказанные в 1951 г. Дебре и Эрроу теоремы благосостоя­ния, устанавливающие (однозначное) соответствие между конкурент­ным равновесием и оптимумом по Парето. Последние выводят про­блему равновесия в новое измерение, затрагивающее этические ос­новы теории равновесия (см. гл. 14).

Наряду и порой параллельно с исследованием проблемы сущест­вования и сопряженного с ней широкого круга проблем развивался и анализ проблемы устойчивости. Существование равновесия ничего не говорит о поведении системы, т.е. о ее динамических свойствах. Поэтому проблема устойчивости неотделима от проблемы динами­ки. В самом общем виде устойчивость ассоциируется с «притяжени­ем» системы к некоторому состоянию или траектории. Самое общее математическое определение устойчивости гласит: «Линия поведения системы называется устойчивой, если, начавшись внутри этой обла­сти, она никогда ее не покидает». Очевидно, что конкретизация это­го определения может быть различной.

¹⁶ Использовать единичный симплекс возможно, поскольку у Вальраса функции спроса однородны нулевой степени от цен, т.е. множитель при це­нах может быть вынесен. Если каждую цену разделить на сумму всех цен, то полученные векторы цен будут находиться внутри единичного симплекса.

¹⁷ Debreu G. Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. New Haven, 1959.

Дж. Хикс, П. Самуэльсон, К. Эрроу, Ф. Хан, Т. Негиши, Л. Мак-кензи, X. Узава — вот неполный перечень тех, кто в разное время ис­следовал проблему устойчивости равновесия. Но начало положили в ЗО-е годы Дж. Хикс и П. Самуэльсон¹⁸.

Хикс предложил критерий устойчивости, представлявший, по существу, попытку формально выразить соображения, которые уже высказывались в связи с процессом «tatonnement», а именно что уве­личение цены данного товара должно вызывать уменьшение избы­точного спроса на него, причем этот прямой эффект сильнее возмож­ного вторичного эффекта, связанного с косвенным влиянием цен дру­гих товаров, изменение которых было порождено изменением спро­са на них в результате изменения цены исходного товара. Хикс со­средоточил внимание на матрице, составленной из частных произ­водных функций избыточного спроса, и пришел к выводу, что глав­ные миноры этой матрицы должны иметь меняющиеся знаки, при­чем первый минор должен быть отрицательным.

Позже Самуэльсон показал, что критерий Хикса в общем случае не является ни необходимым, ни достаточным. Он подверг критике хиксианское представление об устойчивости на том основании, что оно определено по аналогии со случаем одного рынка, и предложил собственный подход к анализу устойчивости. Самуэльсон исходил из представления об устойчивости как о «притяжении» к некоторой точ­ке, т.е. понимал ее как свойство системы возвращаться к равновес­ной траектории после изменения исходных условий. Он обратился к динамическим характеристикам процесса «tatonnement», а именно к зависимости, связывающей скорость изменения цены товара и вели­чины избыточного спроса на него. Для наиболее простого случая -когда эта зависимость линейна, т.е. может быть представлена как dp/dt = с (А + Вр), где An В — матрицы коэффициентов, р — вектор цен, он показал, что необходимым и достаточным условием устойч и-вости системы является то, что действительные части характеристи­ческих чисел матрицы В отрицательны¹⁹. Для случая одного рынка это условие эквивалентно условию Хикса.

В конце 50-х годов, используя иные методы анализа, Эрроу'и дру­гие экономисты-математики сформулировали следующие альтерна-

¹⁸ См.: Хикс Дж. Стоимость и капитал. М., 1988. Гл. 5 и Приложение к ней; Samuelson P. The Stability of Equilibrium: Linear and Non-Linear Systems // Econometrica. 1942. Vol. 10. January. The Relation Between Hicksian Stability and True Dynamic Stability// Econometrica. 1944. Vol. 12. July—October.

" Характеристические корни матрицы [a_iy] — корни уравнения степени п отх, полученного для определителя матрицы [А — хГ\, где /— единичная ма­трица.

тивные достаточные условия устойчивости: все товары — субституты; рынки удовлетворяют слабой аксиоме о выявленных предпочтениях; якобиан (т.е. определитель матрицы, составленной из частных про­изводных функций избыточного спроса) имеет доминантную диаго­наль, все элементы которой отрицательны. Последнее условие, оче­видно, не что иное, как утверждение о том, что увеличение цены дан­ного товара ведет к уменьшению спроса на него, независимо от воз­действия других цен.

Дискуссии, о которых шла речь выше, строго говоря, касались математической стороны теории общего равновесия, экономическая интерпретация полученных результатов часто оказывалась достаточ­но затруднительной. В этом смысле более экономически содержатель­ными были исследования в рамках того направления, которое выше было обозначено как макроэкономическое.