Характеристики несинусоидальных величин

Линейные электрические цепи при несинусоидальных

Периодических токах

Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены несинусоидальностью источника питания или наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что генераторы не обеспечивают идеальной синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников. В электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи.

Разложение периодических функций.

Характеристики несинусоидальных величин

Из курса математики известно, что любая периодическая функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Отметим, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение условий Дирихле проводить не нужно. При разложении в ряд Фурье периодическая функция представляется следующим образом:

,

(4.1)

где - постоянная составляющая; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции;

все остальные члены вида называются высшими гармониками и отличаются друг от друга порядковым номером k. Высшие гармоники, для которых k – нечетное число, называют нечетными гармониками, для которых

k – четное число, называют четными гармониками.

В выражении (4.1) ; tg= , коэффициенты и определяются по формулам:

; . (4.2)

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Рис. 4.3

Рассмотрим основные типы периодических несинусоидальных функций.

1. Кривые, симметричные относительно оси абсцисс. К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рис. 4.1). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. , .

2. Кривые, симметричные относительно оси ординат. К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (рис.4.2). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

3. Кривые, симметричные относительно начала координат. К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рис. 4.3). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. , .

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

1. Максимальное значение - .
2. Действующее значение - .
3. Среднее по модулю значение - .
4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) –

.

Действующим значением периодической несинусоидальной переменной называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i (t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

.

или

. (4.3)

Аналогичные выражения имеют место для несинусоидальных ЭДС и напряжения.