Примеры: 1)

2) .

3) Пусть имеется два потребителя (i), три производителя (j), два вида продукции (товара). Найти матрицу С объемов k-го продукта, который получит i-ый потребитель.

1, 2, 3 производитель 1, 2 товар

1, 2 потребитель , .

Здесь - доля продукции, которую j-ый производитель отправляет i-ому потребителю, - объем к-ого товара, производимого j-ым производителем.

Найдем матрицу , для которой - объем к-ого продукта, который получит i-ый потребитель.

Можно убедиться в том, что

.

Теорема 1. Если определены операции произведения матриц ВС и АВ, то выполнено равенство А(ВС) = (АВ)С (иными словами, для матриц выполняется свойство ассоциативности по умножению).

Доказательство. Докажем согласованность операций А(ВС) и (АВ)С.

n p q p q

Пусть А =m B=n C=p, тогда АВ=G=m, ВС=Н=n,

q q

тогда (АВ)С=m и А(ВС)=m матрицы одного порядка.

Пусть D=А(ВС), F=(АВ)С, то

d_ij = (

Теорема 2. Если определены операции сложения матриц А и В, а также операции произведения АС и ВС, то выполнено

(А + В)С = АС + ВС (свойство дистрибутивности).

Доказать самостоятельно.

Произведение матрицы-столбца (m x 1) на матрицу-строку (1 x n) дает прямоугольную матрицу размерностью (m x n), а произведение матрицы-строки (1xm) на матрицу-столбец (mx1) дает матрицу 1 порядка (из одного элемента).

Замечание. Из приведенного результата легко заметить, что для операции произведения матриц не выполняется свойство коммутативности, т.е. матрица АВ может не совпадать с матрицей ВА.

Для прямоугольных матриц А(m x n) и В(n x p)- это очевидно, т.к. результатами АВ и ВА могут быть матрицы различной размерности. Для квадратных матриц свойство коммутативности выполняется только в отдельных случаях.

Определение 2. Матрицы А и В называются перестановочными (коммутативными), если выполнено АВ = ВА.

Пример 1. Для матрицы А= найти все перестановочные матрицы

вида В =

Для выполнения условия АВ = ВА, необходимо чтобы элементы матриц АВ и ВА, с соответствующими номерами, совпадали, т.е. из записи

х + 3а у + 3b x + 2y 3x + 4y

АВ = и BA =

2x + 4a 2y + 4b a + 2b 3a + 4b

следует необходимость выполнения условий:

х + 3а=x + 2y, у + 3b=3x + 4y, 2х + 4a = a + 2b, 2y + 4b=3a + 4b

Тогда: из равенства х + 3а = x + 2y ® у = 1.5а

из равенства 2х + 4a = a + 2b ® х = b – 1.5a

Например, при b=1,a=2 получим коммутативную матрицу В=

§ 1.5 Специальные матрицы и их свойства

Теорема 1. Для любой квадратной матрицы А выполнено А I = I A = A

Доказательство. Рассмотрим матрицу В = АI, то по определению произведения АI каждый элемент из В будет представлен

b_ik=a_i1e_1k + a_i2e_2k +…+ a_ike_kk + a_i(k+1)e_(k+1k + a_ine_nk= a_ike_kk =a_ik 1=a_ik

где e_1k = 0, при k ¹ i и e_1k = 1, при k = i

Заметим, что степень матрицы Аⁿ может быть представлена в виде кратного произведением матрицы самой на себя, т.е. Аⁿ = A × A ××× A

Теорема 2. Для произвольных матриц А, В выполнены равенства:

1) (aА + bВ)^T = aA^T + bB^T 2) (AB)^T = B^T A^T

Доказательство (для простоты рассмотрим матрицы 2х2).

1) (aА + bВ)^T =

aА^T + bB^T

2). Согласованность доказать самостоятельно (см. теорему1 п.1.4)

Далее: Пусть v_ijÎV, где V^т=(AB)^T, а u_ijÎU = B^T A^T. Тогда выполняется

u_ij = ^T_ij

Определение 1. Квадратная матрица А называется обратимой, если существует квадратная матрица Х, удовлетворяющая соотношениям: АХ = ХА = I. Каждая матрица Х, удовлетворяющая данному равенству, называется обратной к А (или обращением матрицы А). Обратная матрица обозначается А^-1.

Отметим очевидные свойства:

1) Если АХ = ХА = I, то Х^tА^t = А^tХ^t =I 2) (А^T )^-1 = (A^-1)^T .

Пример. Рассмотрим матричное уравнение F = DX, элементами которого являются квадратные матрицы второго порядка, где

,

Для нахождения матрицы Х используем свойство обратной матрицы. Помножим левую и правую части уравнения (причем, слева) на матрицу, обратную к D: D^-1F = D^-1 DX = IX = X.

Следовательно для нахождения матрицы Х надо найти матрицу D^-1.

Рассмотрим матрицу и используя соотношение D^-1 D = E, приравняем результаты левой и правой частей равенства. Получим систему вида:

4a + 3b = 1

а + b = 0 или b = -1,a = 1, d = 4, c = -3 или

4c + 3d = 0

c + d = 1

, проверяя, получим D^-1 D = E

Тогда, Х = D^{-1 F} или .

Следует отметить, что в уравнении вида F = DXG для нахождения матрицы Х, необходимо совершить операции:

D^{-1 F} G^-1 = D^-1D X G G^-1 = X

Определение 2. Матрица А называется инвалютивной, если А² = I.

Теорема 3. Если матрица обладает двумя из свойств: симметричная, ортонормированная, инвалютивная, то она обладает и третьем свойством.

Пусть, например, матрица симметрична и ортонормированная, то

А = А^Т, АА^Т = I, то А² = I

Для построения инвалютивных матриц 2 и 3- го порядка надо использовать равенство АА = I. Тогда, проводя такие же рассуждения, как и в примере 1 п.1.4, получим

А = А₃ =

Определение 3. Матрица Р называется идемпотентной, если А² = А.

Доказать, что если матрица Р идемпотентна, то матрица А = 2Р – I инвалютивная и если А инвалютивная, то матрица Р=0.5(А+I) идемпотентна.

Если А инвалютивная, то матрица Р = 0.5 (А + I) идемпотентна и

1 0.5с 1 0.5 0.5с

P =

0 0 P= 0 0 0

0 0 0

Определение 4. Квадратная матрица A называется ортогональной, если произведение матрицы на транспонированную с ней матрицу является скалярной матрицей, т.е.

AA^t = A^tA = С = aI

Квадратная матрица A называется ортонормированной, если

AA^t = A^tA = I

Основные свойства ортогональных матриц.

a) Для ортогональной матрицы А обратная матрица существует и

равна транспонированной матрице А^Т

Следует из определения ортогональной и обратной матриц:

AA^t = A^tA = С = aI и AA^-1 = A^-1A = С = aI

Ясно,что каждая ортогональная матрица имеет обратную матрицу.

b) Матрица, обратная к ортогональной матрице, будет

ортогональной матрицей.

Действительно, если А ортогональная, то (А^-1)^ТА^-1=(А^Т)^ТА^-1=АА^-1=aI

с) Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Пусть А, В – ортогональные матрицы, т.е.

AA^t = A^tA = С = aI и ВВ^t = В^tВ = D = bI. Рассмотрим АВ, тогда

(АВ)(АВ)^т= АВВ^ТА^Т = АbIА^Т = bАА^Т = baI = lI,

что и доказывает требуемое утверждение.

Определение 5. Пусть заданы матрицы А₁, А₂, …,А_k одной размерности. Тогда для любого набора чисел a₁, a₂,.., a_k выражение А₁ a₁ + А₂a₂ + … + А_k a_k называют линейной комбинацией матриц А₁, А₂, …,А_k с коэффициентами a₁, a₂,.., a_k.

Очевидно, что линейная комбинацию будет матрицей того же строения. Обратно, любая матрица может быть представлена в виде линейной комбинации матриц. Например,

= 2 + 3 +

Определение 6. Пусть задана матрица А и ее столбцы (или строки) А₁, А₂, …,А_k. Тогда для любого набора чисел a₁, a₂,.., a_k выражение А₁ a₁ + А₂a₂ + … + А_k a_k называют линейной комбинацией столбцов (или строк) матрицы А с коэффициентами a₁, a₂,.., a_k.

§ 1.6 Определитель n-го порядка

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.

Определение 1. Определителем матрицы размерности 1х1 (матрица состоит из одного элемента ), называется само число .

Для записи определителя используется обозначение или .

Определение 2. Определителем второго порядка матрицы

А= размерности 2х2 называется число = = .

Для определения определителя 3-го порядка запишем две матрицы:

рис. 1 рис. 2

Определение 3. Определителем третьего порядка называется число, образованное тремя слагаемыми, каждое из которых является произведением элементов, стоящих на главной диагонали и главных треугольников, взятые со знаком плюс (рис. 1) и тремя слагаемыми, каждое из которых является произведением элементов, стоящих на второстепенной диагонали и второстепенных треугольников, взятые со знаком минус (рис. 2), т.е. выражение

(1)

Для того, чтобы ввести определение определителя n-го порядка необходимо ответить на три вопроса:

1. Сколько сомножитель в слагаемых определителя n-го порядка

2. Сколько всего слагаемых в определителе n-го порядка

3. По какому принципу ставятся знаки «+ и -»

Из определения определителей 2 и 3 порядка видно, что число сомножителей определяется порядком матрицы, для которой вычисляется определитель. Причем легко заметить, что сомножители берутся по одному с каждого столбца и каждой строки.

Пример. В определителе 4-го порядка может быть слагаемое вида

а₁₁а₂₄а₃₂а₄₃, но не может быть слагаемого а₁₁а₂₄а₃₃а₄₃, т.к. из третьего столбца взято два элемента.

Для ответа на второй вопрос введем определение

Определение 4. Перестановкой n-ого порядка называется любое упорядоченное расположение чисел 1, 2, 3,..., n.

Например, две перестановки второго порядка будут (1,2) и (2,1).

Перечислим перестановки третьего порядка, рассмотрев индексы столбцов в слагаемых определителя третьего порядка (заметим, что все первые индексы –строк - упорядочены и постоянны – 1, 2, 3).

Для первых 3-х членов формулы (1)– перестановки (1 2 3), (2 3 1) и (3 1 2), для следующих 3-х членов – (3 2 1), (1 3 2) и (2 1 3).

Легко заметить, что на первом месте в перестановке может находиться любое из n чисел, тогда на втором будет находиться уже любое из (n-1) оставшихся чисел, на третьем (n-2) и т.д. Итак, число перестановок будет равно произведению n×(n-1)×(n-2)×× 2×1.

Лемма. Число всех перестановок n-ого порядка равно n!=1234...n

Следовательно, число перестановок третьего порядка равно 3!=123=6, что и определяет 6 слагаемых в определителе 3-го порядка, число слагаемых определителя матрицы 4- го порядка равно 24, 5-го порядка – 120 и т.д.

Для ответа на третий вопроса также понадобится определение.

Определение 5. Говорят, что пара чисел и в перестановке n-ого порядка образуют беспорядок (или инверсию), если при выполняется неравенство .

Число всех инверсий в перестановке будем обозначать символом .

Примеры

1) В перестановке пятого порядка (5 1 2 3 4) только пары чисел

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4) образуют инверсии, поэтому .

2) Очевидно, что .

Определение 6. Если число инверсий в перестановке четно, то перестановка называется четной, иначе – нечетной (0 инверсий считают четной перестановкой).

Определение 7. Операция перехода от одной перестановки к другой, при которой два числа меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией.

Отметим очевидные свойства транспозиций.

1. От произвольной перестановки можно перейти к любой другой при помощи нескольких последовательно выполненных транспозиций.

2. При выполнении одной транспозиции перестановка переходит в перестановку противоположного наименования, т.е. четная перестановка в нечетную и обратно.

3. При четном числе транспозиций перестановка переходит в перестановку того же наименования, а при нечетном числе транспозиций – в перестановку противоположного наименования.

Пример. Рассмотрим перестановке (3,2,5,4,7,6,1). Найти минимальное число транспозиций для перехода к перестановке (1,2,3,4,5,6,7). Легко видеть, что число транспозиций равно 3.

(3,2,5,4,7,6,1)Þ(5,2,3,4,7,6,1)Þ(5,2,3,4,1,6,7)Þ(1,2,3,4,5,6,7)

Легко заметить, что в формуле (1) перестановки (1 2 3), (2 3 1) и (3 1 2) четные и перед слагаемыми стоят знаки «+», а перестановки (3 2 1), (1 3 2) и (2 1 3) – нечетные и перед слагаемыми стоят знаки «-».

Определение 7. Определителем n-ого порядка матрицы называется алгебраическая сумма n! слагаемых:

(2)

в каждом из которых по n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знаки слагаемых определяются четностью или нечетностью перестановки.

§ 1.7 Свойства определителей

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, то есть .

Из определения определителя

и свойства транспонированной матрицы а_ij= a^t_ji, получаем

= detA

Замечание. Данное свойство означает равноправие строк и столбцов определителя. Все дальнейшие свойства формулируются только для столбцов, подразумевая при этом, что они справедливы и для строк.

Свойство 2. Если один из столбцов матрицы состоит целиком из нулей, то ее определитель равен нулю.

Так в каждое слагаемое определителя входит по одному представителю из каждой строки, то в каждом слагаемом содержится по одному нулевому сомножителю, т.е.все слагаемые равны нулю.

Свойство 3. При перестановке двух столбцов матрицы ее определитель меняет знак

Пусть исходная матрица А, а ее определитель detA. Если поменять местами два столбца i и j, то получим матрицу В с определителем detB. Причем, в каждом слагаемом сомножитель, входивший в определитель матрицы А из i-го столбца, в определитель матрицы В войдет под номером j-го столбца и обратно. Согласно свойству транспозиций, при перемене двух индексов местами, каждая четная перестановка в detA станет нечетной в detB, а нечетная – четной, т.е. все слагаемые detA будут отличаться от слагаемых detB только знаками. Следовательно, detB = - detA.

Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковых строки, то он равен нулю.

Пусть дана матрица А с определителем detA. Поменяв в матрице А две строки местами, получим аналогичную матрицу А, но ее определитель (по св.3)поменяет знак, т.е. detA = -detA или, что то же самое, 2detA = 0, тогда detA = 0.

Свойство 5. Перед формулировкой данного свойства необходимо ввести ряд новых определений и доказать несколько результатов.

Определение 1. Пусть задана матрица А. Вычеркнем из нее i-ю строку и k-ый столбец и не меняя порядка сомкнем строки и столбцы. Определитель вновь построенной матрицы А называют минором элемента a_ij матрицы А и обозначают D_ij.

Пример. Найти минор D₂₃ элемента а₂₃ матрицы А

Из матрицы А= вычеркиваем 2-ю строку и 3-ий столбец.

Получаем матрицу D₂₃= , ее определитель det D₂₃= 3, то есть минор элемента a₂₃ матрицы А равен 3.

Лемма. Пусть дана матрица А с первой строкой, содержащей один ненулевой элемент, т.е. матрица вида

А= ,то определитель такой матрицы равен detA=a₁₁ D₁₁

Доказательство. Рассмотрим определитель матрицы А

(1)

Так как все элементы 1-ой строки, кроме первого, равны нулю, то формула (1) трансформируется в формулу

= а₁₁ D₁₁

где D_{11 –} определитель матрицы, полученной из матрицы А удалением первой строки и первого столбца (или минор элемента а₁₁).

Теорема Пусть дана матрица с i-ой строкой, содержащей в k-ом столбце отличный от нуля элемент

А = ,

то определитель матрицы А равен detA =(-1)^i+k a_ik D_ik

Доказательство. М еняя i-ю строку с 1-ой строкой, мы совершим (i-1) перестановку строк, т.е. по свойству 3 произойдет (i-1) перемена знака. Поменяв k-ый столбец с 1-ым, мы совершим еще (k – 1) перемену знака и в результате придем к матрице, рассмотренной в лемме. Используя ее результаты, получаем detA =(-1)^i+k a_ik D_ik

Определение 2. Выражение А_ij =(-1)^i+k D_ik называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы А.

Иначе: алгебраическим дополнением - это минор со знаком.

Заметим, что алгебраическое дополнение не зависит как от элементов i-ой строки, так и элементов j-ого столбца, так как определяющий его минор содержит элементы, не входящие в эти стоки и столбцы.

Теперь можно сформулировать само свойство 5. Заметим, что в математической литературе это свойство часто фигурирует, как определение определителя.

Свойство 5. Определитель матрицы А равен произведению элементов произвольной строки (столбца) на свои алгебраические дополнения

(2)

Формула (2) называется разложением определителя по i-ой строке.

Результат иллюстрируется на примере определителя 3-го порядка.

а₂₁А₂₁+а₂₂А₂₂+а₂₃А₂₃

Используя свойство 5, легко доказываются утверждения (доказать):

1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

2. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

3. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. ½А В½ = ½ А ½½ В ½

Пример.

Свойство 6. Сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения другого столбца равна нулю (принимаем без доказательства). Проверить на числовом примере

Свойство 7. Если элементы некоторой строки матрицы А умножить на любое число, то определитель полученной матрицы В будет отличаться от определителя исходной матрицы А на это число.

Доказательство. Пусть дана матрица А, где .

Умножив i-ю строку матрицы А на число r, получим новую матрицу В с определителем, определяемым свойством 5:

=

Следствия:

1.Общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя.

2. Если в матрице существуют 2 пропорциональные строки, то ее определитель равен 0 (коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, тогда матрица полученного определителя будет содержать две равные строки)

Свойство 8. Если в матрице каждый элемент k-ого столбца может быть представлен в виде сумма двух слагаемых a_ik = b_ik + c_ik, то определитель такой матрицы А представим в виде суммы двух определителей, в первом из которых на месте элементов k-го столбца стоят элементы b_ik, а во втором определителе на месте элементов k-го столбца стоят c_ik (остальные элементы матрицы не меняются).

Доказательство. Воспользуемся свойством 5.

= detB + detC

Пример. 0 + 0 = 0

Свойство 9 Если к строке определителя прибавить любую другую его строку, умноженную на некоторое число k, то определитель не изменится.

Доказательство. Пусть дана матрица А, где .

Умножив j-ю строку матрицы А на число r и прибавит эту строку к элементам i-ой строки получим новую матрицу А₁ с определителем:

= = 0 + detA

Первый определитель равен нулю, т.к. в нем находятся две пропорциональные строки.

Пример. Вычислить определитель матрицы D четвертого порядка:

Умножим последовательно первую строку на (-2),(-5) и (-6) и прибавим ее соответственно ко второй, третьей и четвертой строке. По свойству 9 значение полученного определителя не изменится.

Теперь последовательно умножим 2-ю строку на 13 и 4 и прибавим ее к 3-ей и 4-ой строке. Получим определитель:

Свойство 10 Если один из столбцов матрицы А есть линейная комбинация других столбцов этой матрицы, то определитель такой матрицы равен нулю.

Доказательство. Пусть таким столбцом в матрице А является k- ый. Тогда, обозначив столбцы как А₁,А₂,…,А_k,…,А_n запишем линейную комбинацию для столбца k:

А_k = a₁A₁+ a₂A₂+ … + a_k-1A_k-1+ a_k+1A_k+1+…+a_nA_n

Если вместо элементов k-го столбца в исходной матрице А записать данную комбинацию, то используя свойство 7 определитель матрицы А можно представить в виде (k – 1) определителя, в каждом из которых будут два пропорциональных столбца. Тогда, каждый из таких определителей равен нулю (следствие 2 из свойства 7).

Свойство 11. Перед его формулировкой введем определение.

Определение. Матрица вида , где А, В, С квадратные матрицы, называется ступенчатой матрицей.

Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей диагональных клеток.

Пример. = = 1 – 1 = 0.

§ 1.8 Взаимная и обратная матрица

Определение 1. Квадратная матрица называется невырожденной (или неособенной), если , в противном случае матрица называется вырожденной (особенной).

Определение 2. Пусть задана квадратная матрица А, то матрица называется взаимной к матрице , если в ее к-ой строке стоят алгебраические дополнения элементов k- го столбца матрицы А, т.е.

.

Теорема 1. Для взаимной матрицы квадратной матрицы А выполнено равенство

А = А = ½А½I = ½А½I = D

где D - определитель матрицы А.

Доказательство. Докажем для случая А = ½А½I = D I

А = = = D I

Теорема 2. Особенные матрицы обратных матриц не имеют. Всякая неособенная матрица имеет обратную и причем единственную, определяемую по формуле

Доказательство. По определению обратной Х матрицы А А^-1 = А^-1 А = I и свойству, что определитель произведение равен произведению определителей, получаем

½А А^-1 ½ = ½ А^-1 ½½ А ½= ½I½= 1 ¹ 0

т.е. определители матрицы А и А^-1 не равны нулю.

Используем теорему 1: если А = D I, то умножая слева на А^-1 получим А^-1А = А^-1D I или = А^-1D и окончательно будет

Докажем единственность. Пусть существуют 2 обратные матрицы Y₁, Y. Тогда А Y = I, Y₁ (А Y) = Y₁I, (Y₁ А)Y = Y₁, I Y = Y₁, Y = Y₁

Следствие

1. . Свойство вытекает из цепочки равенств

2. Замечание: .

Показать, что если матрица А симметрическая (кососимметричная), то взаимная матрица А^ж также симметрическая (кососимметричная).

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы .

Так как , то обратная матрица существует. Для удобства вычисления запишем транспонированную с ней матрицу

, и найдем ее алгебраические дополнения

А₁₁ = 2, А₁₂ = 0, А₁₃ = 0,

А₂₁ =-4, А₂₂ = 2, А₂₃ = 0,

А₃₁ = 7, А₃₂ = -2, А₃₃ = 1

Взаимная матрица , обратная .