![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
§ 1.1. Матрицы и их основные виды
Определение 1. Вещественной матрицей (прямоугольной) размерности m x n называется совокупность m×n вещественных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называется ее порядком.
Для обозначения матриц приняты прописные латинские буквы, а для обозначения элементов матриц - строчные:
.
Здесь - элемент матрицы
,стоящий в строке с номером
и в столбце с номером
.
Определение 2. Две матрицы А и В одинаковой размерности m x n называются равными, если при всех
.
Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы
- побочную (второстепенную)диагональ квадратной матрицы.
Матрицу, состоящую из одного столбца, называют матрицей -столбцом высоты m и обозначают . Матрицу, состоящую из одной строки, называют матрицей-строкой длины n и обозначать
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается Q.
Отметим специальные виды квадратных матриц:
1) Квадратная матрица называется верхней треугольной матрицей, если при
, т.е. все элементы, расположенные ниже главной диагонали равны нулю.
2) Квадратная матрица называется нижней треугольной матрицей, если при
, т.е. все элементы, расположенные выше главной диагонали равны нулю.
3) Квадратная матрица, у которой при
, называется диагональной. Если у диагональной матрицы
, то она называется скалярной. И, наконец, если в скалярной матрицы
, то она называется единичной матрицей и обозначается символом I.
4) Квадратная матрица А называется симметрической, если аij=aji" i¹j
5) Квадратная матрица А называется обратно симметрической, если выполнены условия: элементы аii = 1 " i и аij = 1/aji " i¹j.
6) Квадратная матрица А называется кососимметрической, если выполнены условия: элементы аii = 0 " I и аij = -aji " i¹j.
Определение 3. Матрица размерности n x m называется транспонированной по отношению к матрице
размерности m x n, если
.
Это определение означает, что столбцы матрицы становятся строками транспонированной матрицы
и обратно. Заметим, что для симметрических А квадратных матриц выполнено: А = АТ
Определение 4. Прямоугольная матрица А вида называется верхней трапециевидной. По аналогии определяется нижняя трапециевидная
Матрицу можно разбить системой вертикальных и горизонтальных прямых на части, которые при этом рассматриваются как матрицы низших порядков и называются блоками или клетками матрицы
. Сама матрица, элементами которой служат блоки, называется блочной или клеточной матрицей. Общая запись блочной матрицы имеет вид
,
где - клетка-матрица, расположенная в i-ой клеточной строке и j-ом клеточном столбце.
§ 1.2. Линейное пространство
Определение 1. Совокупность объектов, связанных общим свойством Á, называют множеством и обозначают А = { a ú ai Á ak }
Определение 2. Множество чисел К, в котором определены четыре арифметические операции и выполнены все соответствующие свойства этих операций называют полем.
Поля образовывают рациональные, вещественные или комплексные числа. Мы будем рассматривать только поле К вещественных чисел.
Определение 3. Пусть задано множество М, для всех элементов которого определены две операции:
-для любых А, В из М сумма А + В принадлежит М
-для любого А из М и k из К произведение kA принадлежит М
и для этих операций выполняются следующие свойства:
1. Для любых А, В из М выполнено А + В = В + А
2. Для любых А, В, С из М выполнено (А + В) + С = А + (В + С)
3. Для любого А из М найдется «О» из М, что выполнено А + О =А
4. Для любого А из М найдется «-А» из М, что выполнено А+(-А)=0
5. Для любого А из М и a,b из К выполнено (a + b)А = aА + bВ
6. Для любых А, В из М и a из К выполнено a(А + В) = aА + aВ
7. Для любых А, В из М и a,b из К выполнено (ab)А = a(bА)
8. Для любого А из М найдется 1, что выполнено 1×А = А
то множество М называется линейным пространством над полем К.
Замечание.
1). Множество всех функций
, определенных и непрерывных на сегменте
, образует линейное пространство, если
сложение таких функций и умножение их на вещественные числа определяются по обычным правилам математического анализа.
2). Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей фиксированного натурального числа n, с операциями, определенными по обычным правилам операций над многочленами, образует линейное пространство.
§ 1.3 Элементарные операции над матрицами
Определение 1. Произведением матрицы А на число (или числа на матрицу) называется матрица D той же размерности, элементы которой равны
или
Определение 2. Суммой матриц и
одной и той же размерности m x n называется матрица
той же размерности m x n, элементы которой равны
.
Можно показать, что любая квадратная матрица представима в виде сумма симметрической и кососимметрической матриц. Покажем это для матрицы 2-го порядка.
, где a12 = c + b, a21 = c - b
Вычитание матриц (А – В) можно рассматривать, как операцию сложения А + (-1)В, где матрица В умножена на число (-1).
Определив сложение матриц, легко получить следующие их свойства:
Если матрицы А, В, С согласованы по сложению (например, квадратные одного порядка), то выполняются очевидные равенства:
1. А + В = В + С 2. А + (В + С) = (А + В) + С
3. А + В = 0, где В = (-1)А 4. А + В = А, где А = 0.
Из определений 1, 2 для матриц А, В и чисел a, b Î К выполнено:
5. a(bА) = (ab)А = (Аa)b = А(ab)
6. (a + b)А = aА + bА (или А(a + b) = Аa + Аb)
7. a(А + В) = aА + aВ (или (А + В)a = Аa + Вa)
8. А × 1 = 1 × А
Докажем, например, свойство 6 для матриц второго порядка.
(a + b)А =
aА + bB
В доказательстве использованы свойства вещественных чисел.
Таким образом, если для вещественных матриц определены операции умножения числа на матрицу и сложения матриц, то в этом случае множество матриц образует линейное пространство над полем K.
Упражнения. Доказать следующие равенства:
1. a(АВ)=(aА)В, 2. А(aВ)=(Аa)В, 3. (АВ)a = А(Вa)
4. (-a)А =- aА; 5. -(А + В)= -А – В; 6. -(-А) = А.
§ 1.4 Произведение матриц
Определение 1. Если задана матрица размерности m x n и матрица
размерности n x p (т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В), то определена операция произведения
матрицы А на матрицу В, результатом которой называется такая матрица
размерности m x p, элементы которой вычисляются по формуле
(правило "строка на столбец").
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 354 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!