Глава 1 Матрицы и определители

§ 1.1. Матрицы и их основные виды

Определение 1. Вещественной матрицей (прямоугольной) размерности m x n называется совокупность m×n вещественных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называется ее порядком.

Для обозначения матриц приняты прописные латинские буквы, а для обозначения элементов матриц - строчные:

.

Здесь - элемент матрицы ,стоящий в строке с номером и в столбце с номером .

Определение 2. Две матрицы А и В одинаковой размерности m x n называются равными, если при всех .

Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы - побочную (второстепенную)диагональ квадратной матрицы.

Матрицу, состоящую из одного столбца, называют матрицей -столбцом высоты m и обозначают . Матрицу, состоящую из одной строки, называют матрицей-строкой длины n и обозначать .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается Q.

Отметим специальные виды квадратных матриц:

1) Квадратная матрица называется верхней треугольной матрицей, если при , т.е. все элементы, расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

2) Квадратная матрица называется нижней треугольной матрицей, если при , т.е. все элементы, расположенные выше главной диагонали равны нулю.

3) Квадратная матрица, у которой при , называется диагональной. Если у диагональной матрицы , то она называется скалярной. И, наконец, если в скалярной матрицы , то она называется единичной матрицей и обозначается символом I.

4) Квадратная матрица А называется симметрической, если а_ij=a_ji" i¹j

5) Квадратная матрица А называется обратно симметрической, если выполнены условия: элементы а_ii = 1 " i и а_ij = 1/a_ji " i¹j.

6) Квадратная матрица А называется кососимметрической, если выполнены условия: элементы а_ii = 0 " I и а_ij = -a_ji " i¹j.

Определение 3. Матрица размерности n x m называется транспонированной по отношению к матрице размерности m x n, если .

Это определение означает, что столбцы матрицы становятся строками транспонированной матрицы и обратно. Заметим, что для симметрических А квадратных матриц выполнено: А = А^Т

Определение 4. Прямоугольная матрица А вида называется верхней трапециевидной. По аналогии определяется нижняя трапециевидная

Матрицу можно разбить системой вертикальных и горизонтальных прямых на части, которые при этом рассматриваются как матрицы низших порядков и называются блоками или клетками матрицы . Сама матрица, элементами которой служат блоки, называется блочной или клеточной матрицей. Общая запись блочной матрицы имеет вид

,

где - клетка-матрица, расположенная в i-ой клеточной строке и j-ом клеточном столбце.

§ 1.2. Линейное пространство

Определение 1. Совокупность объектов, связанных общим свойством Á, называют множеством и обозначают А = { a ú a_i Á a_k }

Определение 2. Множество чисел К, в котором определены четыре арифметические операции и выполнены все соответствующие свойства этих операций называют полем.

Поля образовывают рациональные, вещественные или комплексные числа. Мы будем рассматривать только поле К вещественных чисел.

Определение 3. Пусть задано множество М, для всех элементов которого определены две операции:

-для любых А, В из М сумма А + В принадлежит М

-для любого А из М и k из К произведение kA принадлежит М

и для этих операций выполняются следующие свойства:

1. Для любых А, В из М выполнено А + В = В + А

2. Для любых А, В, С из М выполнено (А + В) + С = А + (В + С)

3. Для любого А из М найдется «О» из М, что выполнено А + О =А

4. Для любого А из М найдется «-А» из М, что выполнено А+(-А)=0

5. Для любого А из М и a,b из К выполнено (a + b)А = aА + bВ

6. Для любых А, В из М и a из К выполнено a(А + В) = aА + aВ

7. Для любых А, В из М и a,b из К выполнено (ab)А = a(bА)

8. Для любого А из М найдется 1, что выполнено 1×А = А

то множество М называется линейным пространством над полем К.

Замечание.

1). Множество всех функций , определенных и непрерывных на сегменте , образует линейное пространство, если сложение таких функций и умножение их на вещественные числа определяются по обычным правилам математического анализа.

2). Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей фиксированного натурального числа n, с операциями, определенными по обычным правилам операций над многочленами, образует линейное пространство.

§ 1.3 Элементарные операции над матрицами

Определение 1. Произведением матрицы А на число (или числа на матрицу) называется матрица D той же размерности, элементы которой равны

или

Определение 2. Суммой матриц и одной и той же размерности m x n называется матрица той же размерности m x n, элементы которой равны .

Можно показать, что любая квадратная матрица представима в виде сумма симметрической и кососимметрической матриц. Покажем это для матрицы 2-го порядка.

, где a₁₂ = c + b, a₂₁ = c - b

Вычитание матриц (А – В) можно рассматривать, как операцию сложения А + (-1)В, где матрица В умножена на число (-1).

Определив сложение матриц, легко получить следующие их свойства:

Если матрицы А, В, С согласованы по сложению (например, квадратные одного порядка), то выполняются очевидные равенства:

1. А + В = В + С 2. А + (В + С) = (А + В) + С

3. А + В = 0, где В = (-1)А 4. А + В = А, где А = 0.

Из определений 1, 2 для матриц А, В и чисел a, b Î К выполнено:

5. a(bА) = (ab)А = (Аa)b = А(ab)

6. (a + b)А = aА + bА (или А(a + b) = Аa + Аb)

7. a(А + В) = aА + aВ (или (А + В)a = Аa + Вa)

8. А × 1 = 1 × А

Докажем, например, свойство 6 для матриц второго порядка.

(a + b)А =

aА + bB

В доказательстве использованы свойства вещественных чисел.

Таким образом, если для вещественных матриц определены операции умножения числа на матрицу и сложения матриц, то в этом случае множество матриц образует линейное пространство над полем K.

Упражнения. Доказать следующие равенства:

1. a(АВ)=(aА)В, 2. А(aВ)=(Аa)В, 3. (АВ)a = А(Вa)

4. (-a)А =- aА; 5. -(А + В)= -А – В; 6. -(-А) = А.

§ 1.4 Произведение матриц

Определение 1. Если задана матрица размерности m x n и матрица размерности n x p (т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В), то определена операция произведения матрицы А на матрицу В, результатом которой называется такая матрица размерности m x p, элементы которой вычисляются по формуле (правило "строка на столбец").