Разностные представления дифференциальных операторов

ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗРАБОТКИ ГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ПРИ ГАЗОВОМ РЕЖИМЕ

РАЗНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

Известно, что решение дифференциальных уравнений(微分方程) приближенными методами приводит к системам линейных алгебраических уравнений.

Существует два типа методов решения систем линейных алгебраических уравнений

a) Прямые или «точные» методы.

б) Итерационные или методы последовательных приближений.

Простейшими системами линейных алгебраических уравнений являются разностные уравнения, для которых матрица имеет специальный вид.

Разностные уравнения появляются при аппроксимации（逼近法） дифференциальных уравнений математической физики, когда мы применяем численные методы интегрирования этих дифференциальных уравнений в частных производных. Численные методы называются сеточными или конечно-разностными методами и основаны на замене（更换） (выражении) производных первого, второго и т.д. порядков в какой-либо точке пространства и в какой-либо момент времени через значения функции в соседних точках.

При этом приходится искать функции двух или трёх переменных, заданных на сетке, т.е. на дискретном множестве точек, число которых может быть очень велико . Системы линейных алгебраических уравнений, которые в этом случае получаются, имеют следующие особенности:

1) Матрица（矩阵） системы имеет много нулевых（零的） коэффициентов.

2) Число уравнений очень велико

Остановимся сейчас на способе выражения производных первого и второго порядков через конечные разности и на оценке погрешности от этой замены.

Известно, что любую функцию , непрерывную и имеющую все необходимые производные при x=a, можно представить в виде ряда Тейлора:

(1.1.1)

Отсюда видно, что по известным значениям функции и её производных можно определять значения функции в близлежайшей точке.

Пусть на оси OX имеется отрезок MN, разбитый на n равных частей. Тогда расстояние (шаг) между соседними точками

0 1 i-1ii+1 ….. n-1n

O M N Х

Выберем произвольные точки на линии MN:(i - 1), i, (i + 1 ) и при помощи (1.1.1) запишем значения функции в точках (i - 1) и (i + 1) через значения функции и её производных в точке i.

Для точки (i-1): (x-a) = - h, а для точки (i+1): (x-a) = h.

Следовательно,

	(1.1.2)
	(1.1.3)

Здесь - значение производных в точке i.

Первая производная из уравнений (1.1.2) и (1.1.3) будет выражаться так:

	(1.1.4)
	(1.1.5)

– сумма соответствующих остаточных членов ряда (1.1.2) или (1.1.3), поделённых на h.

Таким образом, (1.1.4) и (1.1.5) дают приближённое（近似的） значение производной для конца интервала (i,i +1) и (i,i -1) с погрешностью порядка h, т.к. o(h) члены первого порядка малости относительно h.

(Если величина h значительная, то разностная（等差）аппроксимация（近似值） производной в точке i может приводить к значительным ошибкам （误差，偏差，修正值）вычисления ).

Можно получить более точное выражение для первой производной по x в точке i, если вычесть (1.1.3) из (1.1.2)

(1.1.6)

Здесь мы имеем погрешность порядка .

Для второй производной в точке i аппроксимирующее выражение получим, сложив уравнения (1.1.2) и (1.1.3),