 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме
|
|
ВЕКТОРЫ МАТРИЦ
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ
ВЕКТОРОВ МАТРИЦ
Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме
(1)
где 
- квадратная матрица, 
и 
- вектор-столбцы,
то есть 
.
Если окажется, что координаты 
вектора-столбца пропорциональны соответствующим координатам 
искомого вектора-столбца с коэффициентом пропорциональности 
, то есть:
, (2)
то ненулевой вектор-столбец называется собственным вектором матрицы A, а коэффициент пропорциональности - собственным значением матрицы A. Так как 
, а 
, то очевидно, что (1) в этом случае можно записать так:
(3)
Таким образом, если выполняется условие (3) для СЛАУ (1), то вектор называется собственным вектором матрицы A, соответствующим ее собственному значению .
ПРИМЕР 1. Пусть
Тогда
.
Следовательно, число =6 является собственным значением матрицы A, так как выполняется равенство (3).
Перепишем соотношение (3) следующим образом:
или
. (4)
Запишем теперь (4) в развернутом виде:
. (5)
Выражение (5) представляет собой линейную однородную систему алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть когда выполняется условие
. (6)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Уравнение (6) называется характеристическим уравнением матрицы A, а его левая часть - характеристическим многочленом (или характеристическимопределителем) матрицыА. В развернутом виде характеристическое уравнение записывается так:
. (7)
Если раскрыть определитель (7), то получится многочлен n- й степени относительно :
(8)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Величины , определенные из алгебраического уравнения (8), принимают значения 
и называются собственными значениями матрицы A, а их совокупность – спектром этой матрицы.
Для нахождения всех собственных векторов 
матрицы А, соответствующих собственным значениям 
необходимо решить систему 
линейных однородных алгебраических уравнений (4), то есть для каждого собственного значения 
.
ПРИМЕР 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
а) Шаг 1. Запишем характеристический многочлен матрицы A и определим значения .
Имеем
.
Характеристическое уравнение 
имеет два корня 
и 
, которые и являются собственными значениями матрицы A.
б) Шаг 2. Найдем собственный вектор 
, соответствующий значению . Запишем однородную СЛАУ в матричной форме, соответствующую .
или
,
что равносильно системе:
которая имеет бесчисленное множество решений вида 
. Полагая 
(
- любое число), получим 
.
Тогда искомый собственный вектор, соответствующий собственному значению 
, запишется так:
.
Найдем теперь собственный вектор 
, соответствующий второму собственному значению . Имеем:
,
или
Отсюда 
. Полагая 
, получим 
, значит, второй собственный вектор имеет вид
.
Таким образом, приведенная выше схема определения собственных значений и собственных векторов матриц состоит из следующих шагов:
а) Шаг 1. Нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни, то есть весь спектр собственных значений.
б) Шаг 2. Решить однородные СЛАУ для 
и определить тем самым все собственные вектора матрицы А.
1.2. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО РАЗВЕРТЫВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ
Рассмотрим этот метод на примере матрицы третьего порядка с целью определения алгоритма нахождения коэффициентов характеристического уравнения матрицы А. Пусть:
.
Далее, вычислим определитель этой матрицы по правилу треугольников:
(9)
или
. (10)
Здесь коэффициент Р1 - сумма диагональных элементов матрицы A, которая называется следом матрицы и обозначается SpA:
,
коэффициент P2 есть сумма всех диагональных миноров второго порядка матрицы A:
,
а коэффициент 
равен значению определителя этой матрицы:
В общем, если требуется развернуть определитель 
в многочлен
n -й степени, то будем иметь:
,
где коэффициенты 
вычисляются по следующим формулам:
1) 
- сумма всех диагональных элементов
матрицы A;
2) 
- сумма всех диагональных миноров
второго порядка матрицы A;
3) 
- сумма всех диагональных миноров
третьего порядка матрицы A;
.
.
.
4) 
- определитель матрицы A.
Общее число диагональных миноров k -го порядка матрицы A равно:
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 247 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
