Аналіз розв’язків задачі витіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки

Фронтальне (прямолінійно-паралельне чи плоскорадіальне) витіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки описується системою рівнянь (13.18) і (13.19) – базовою моделлю фізико-хімічної гідрогазомеханіки (гідродинаміки). Залежно від природи домішки задають конкретний вигляд функцій і . Найчастіше обмежуються випадком, коли ізотерма сорбції і рівняння розподілу домішки є лінійні:

; , (13.24)

де – коефіцієнт пропорціональності.

Тоді рівняння балансу домішки (13.18) перетворюється так:

;

;

, (13.25)

де ; .

Початкові та граничні умови такі:

(13.26)

Рівняння (13.19) і (13.25) утворюють гіперболічну систему квазілінійних рівнянь. Ці рівняння на відміну від лінійних допускають розривні розв’язки, коли в розподілах насиченості і концентрації можливі стрибки (стрибкоподібна зміна s і с на безмежно малій товщині – фронті): s - стрибки і c - стрибки.

З теорії систем рівнянь подібного виду випливає, що область фільтрації розбивається на ряд підобластей:

а) підобласть постійності змінних величин s і с (так звані вироджені хвилі);

б) підобласть постійності змінної величини с (так звані s -хвилі);

в) підобласть зміни обох змінних величин s і с (так звані с -хвилі);

г) підобласть стрибкоподібної зміни s і с (s -стрибки і с -стрибки).

У загальному випадку існує два стрибки насиченості s – перший, анало­гічний баклеєвському стрибку водонасиченості в задачі про заводненння, та другий, пов’язаний із стрибком концентрації активної домішки (з с -стрибком). На стрибках мають виконуватися співвідношення балансу маси фаз і маси домішки (так звані умови Гюгоніо), що пов’язують швидкість стрибка та значини невідомих величин перед стрибком s ⁺, с ⁺ і за ним s ^-, с ^-, а також умова стійкості. Остання полягає в тому, що розривний розв’язок стійкий відносно накладання малих збурень на сам розв’язок.

Такі задачі можна розв’язати наближеними числовими методами з використанням ЕОМ. В.М. Єнтов, виходячи з аналізу розмірностей, ввів автомодельну змінну

(13.27)

і дістав точні автомодельні розв’язки одновимірної задачі для підобластей безперервності зміни змінних вигляду

; , (13.28)

де і задовольняють систему звичайних диференціальних рівнянь, одержаних з (13.19) і (13.21) з використанням (13.23):

; (13.29)

. (13.30)

Для графоаналітичного розв’язування задачі поступаємо так.

1. На діаграмі , яка називається фазовою, будуємо графіки функцій і , задаючись рядом насиченостей s витіснювальної фази (чим менший буде крок зміни s, тим плавнішим буде графік і, відповідно, вищою буде точність розрахунку), для двох відомих концентрацій активної домішки с ₀ і с _п (параметри функцій), де с ₀ – концентрація активної домішки у витіснювальній фазі на вході в пласт ( = 0) і за часу > 0; с _п – концентрація активної домішки у всьому пласті ( > 0) і в початковий момент часу ( = 0). Звичайно, для випадку витіснення нафти розчином активної домішки беремо початкову концентрацію с _п = 0, що відповідає випадку витіснення нафти водою (задача Баклея - Леверетта).

2. Із полюса проводимо дотичну до функції .

3. Абсциса точки дотику дотичної до графіка функції є шуканою величиною насиченості s ^- перед стрибком насиченості (розгляд ведеться по ходу зростання).

4. Абсциса точки перетину дотичної до графіка функції з графіком функції є величиною насиченості s ⁺ після стрибка насиченості (рис. 13.2).

5. Із точки з координатами проводимо дотичну до кривої , чи конкретніше до кривої за с _п = 0, абсциса точки дотику якої є величиною насиченості на фронті витіснення нафти водою (аналогічно як і в задачі Баклея - Леверетта (див. розд. 12)).

6. Якщо , то маємо випадок малої сорбції (точка D на рис. 13.2, а), а якщо > – випадок великої сорбції (точка D¢ на рис. 13.2, а).

7. Безрозмірні швидкості фронту стрибка насиченості (і стрибка концентрації) і фронту витіснення нафти водою визначаємо як тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичних відповідно до функцій і .

8. Будуємо графіки розподілів насиченостей і концентрації домішки.

На рис. 13.2 показано відповідні розподіли насиченостей в один момент часу для випадку витіснення нафти водою (пунктирна лінія) і розчином активної домішки (суцільна лінія) за малої (б) та великої (в) сорбцій. Звідси випливають такі практичні висновки:

1) домішка, що дуже сорбується породою, не змінює часу настання моменту обводнення і початкової стадії водного періоду розробки (на рис. 13.2, в пунктирна і суцільна лінії співпадають – відрізок ЕD); її роль зводиться до деякого сповільненого росту обводненості на проміжній стадії (відрізок DD¢) та збільшення повноти витіснення на завершальній стадії (суцільна лінія С¢В лежить вище пунктирної лінії);

2) якщо домішка сорбується слабко, то дещо збільшується безводний період експлуатації і зменшується обводненість продукції на початковій стадії обводнення (на рис. 13.2, в суцільна лінія ЕDD лежить лівіше пунктирної лінії);

3) в обох випадках фронту витіснення нафти розчином активної домішки передує фронт витіснення нафти водою (правіше заштрихованої області сорбції домішки). Але за великої сорбції фронт витіснення нафти водою і передня частина профілю водонасиченості повністю співпадають із фронтом витіснення нафти і профілем водонасиченості за звичайного заводнення (показано пунктиром на рис. 13.2, б і в).

Із розглянутого виснуємо, що цей метод узагальнює розв’язок задачі Баклея - Леверетта (див. підрозд. 12.3 щодо методу характеристик). При цьому важливо, що використовуються лише криві для двох значин с (початкової с _п і кінцевої с ₀).

Задача 13.1. У пористому пласті здійснюється витіснення нафти водним розчином поліакриламіду (ПАА) з концентрацією с = 0,001 за законом Дарсі. Відомо, що під час витіснення нафти полімером (ПАА) він залишається у водній фазі, тобто не переходить у нафту, функція розподілу , коефіцієнт фазової проникності для нафти не змінюється, а має місце підвищення в’язкості води. Наявність ПАА у воді за даними лабораторних досліджень зменшує залишкову нафтонасиченість згідно з рівнянням:

де – коефіцієнт залишкової нафтонасиченості під час витіснення нафти водою.

Динамічний коефіцієнт в’язкості розчину (водної фази) в залежності від концентрації с полімера виражається рівнянням:

де – динамічний коефіцієнт в’язкості чистої води ().

Залежності відносних коефіцієнтів фазових проникностей водної фази (води або розчину ПАА) і нафти від коефіцієнту насиченості водною фазою мають вигляд:

де – коефіцієнт початкової водонасиченості пласта, причому , .

ПАА адсорбується скелетом пористого середовища за законом Генрі (ізотерма лінійної сорбції Генрі) з константою Генрі Г = 0,8. Динамічний коефіцієнт в’язкості нафти становить 7 мПа∙с.

Знайти: а) коефіцієнт насиченості водною фазою за фронтом концентрації ПАА; б) коефіцієнт насиченості водною фазою перед фронтом концентрації ПАА; в) коефіцієнт насиченості на фронті витіснення нафти водою. Яка сорбція ПАА має місце в цьому випадку: значна чи слабка?

Розв’язування. Розраховуємо:

залишкову нафтонасиченість

;

динамічний коефіцієнт в’язкості розчину

координати полюса

; .

Будуємо графіки функцій частки водного розчину ПАА f (s, c) і частки води f (s, 0), в залежності від насиченості s за формулами (графік аналогічний рис. 13.2, а):

; .

Із полюса (0,2; 0) проводимо дотичну до кривої f (s, 0). Точка дотику, спроектована на вісь абсцис, дає нам шукану значину коефіцієнта насиченості водою на фронті витіснення

Із полюса (-0,8; 0) проводимо дотичну до функції f (s, с). Абсциса точки дотику є шуканою величиною насиченості після стрибка насиченості , а точка перетину цієї дотичної з кривою лінією функції f (s, 0) – величину насиченості перед стрибком насиченості (для підвищення точності відліку графік, в межах точок дотику і перетину, побудовано в збільшеному масштабі в системі MathCAD).

Так як , то маємо випадок значної сорбції ПАА породою (якісний графік розподілу насиченості аналогічний графіку на рис. 13.2, в).

Розподіл насиченості вздовж пласта під час довитіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки з покладу, який раніше розроблявся способом заводнення, показано на рис. 13.3. За рахунок введення активної домішки можливими є два випадки витіснення: а) перед фронтом концентрації активної домішки формується зона, в якій нафтонасиченість більша від початкової (у попередньо заводненому пласті), тобто формується так званий “ нафтовий вал ”, а фронт активної домішки відстає від фронту витіснення (див. рис. 13.3, б); б) утворюється “ нафтове плато ” з повільним зниженням нафтонасиченості на задньому його фронті, а передній фронт плато співпадає з фронтом переміщення активної домішки (див. рис. 13.3, в).

Активні домішки дорогі, тому їх нагнітають у вигляді облямівки (рис. 13.4).

Під облямівкою розуміють невелику порцію розчину активної домішки, яка подається в пласт і переміщається далі по пласту водою. Якщо ізотерма сорбції і рівняння розподілу домішки між фазами лінійні (адсорбція та десорбція повністю оборотні), то об’єм облямівки домішки стабілізується. У разі опуклої (угнутої) ізотерми сорбції об’єм облямівки необмежено зростає, а концентрація домішки в ній зменшується. Необоротність сорбції призводить до зникнення облямівки в ході переміщення її по пласту. Багатодомішкові облямівки можуть розшаровуватися на однодомішкові, бо в них різні константи сорбції та розподілу між фазами.

Якщо в разі прямолінійно-паралельної фільтрації об’єм облямівки стабілізується, то відстань між фронтом і тилом облямівки також стабілізується. А в разі плоско-радіального витіснення лінійний розмір облямівки асимптотично прямує до нуля, оскільки збільшується радіус фронту за постійного об’єму облямівки. Це необхідно врахувати під час вибору розміру облямівки.

Розглянута теорія узагальнюється і на процеси витіснення нафти концентрованими розчинами активних домішок та реагентів, які впливають на фазову рівновагу. Для цього необхідно враховувати два фактори:

1) за великої концентрації домішки зміна об’ємів фаз уже істотна і нехтувати нею не можна;

2) активна домішка, розподіляючись між фазами, призводить також до взаємної розчинності початково незмішуваних фаз, наприклад, до часткового переходу нафти у водну фазу та навпаки (змінюється масообмін між фазами).