Дискретность и непрерывность в природе

... когда исследователь достигает стадии,

на которой он перестает видеть за

деревьями лес, он слишком охотно

склоняется к разрешению этой

трудности путем перехода к изучению

отдельных листьев.

Корпускулярный и континуальный подходы к описанию природы. Скалярное поле. Векторное поле. Траектория.

Корпускулярное и континуальное описание объектов природы. Вам известно об атомно-молекулярном строении вещества. Знания эти основаны на опытных фактах. Именно опыт, в частности опыт Перрена по изучению броуновского движения, положил конец спорам философов о том дискретно вещество или непрерывно.

С древнейших времен существовало два противоположных представления о структуре материального мира. Одно из них – континуальная концепция Анаксогора – Аристотеля – базировалась на идее непрерывности, внутренней однородности, «сплошности» и, по-видимому, было связано с непосредственными «чувственными» впечатлениями, которые производят вода, воздух, свет и т. п. Материю согласно этой концепции, можно делить до бесконечности, и это является критерием ее непрерывности. Заполняя все пространство целиком, материя «не оставляет пустоты внутри себя».

Другое представление – атомистическая, иначе корпускулярная концепция Левкиппа – Демокрита – было основано на дискретности пространственно-временного строения материи, «зернистости» реальных объектов и отражало уверенность человека в возможности деления материальных объектов на части до определенного предела – атомов, которые в своем бесконечном многообразии (по величине, форме, порядку) сочетаются различными способами и порождают все многообразие объектов и явлений реального мира. При таком подходе необходимым условием движения и сочетания реальных атомов является существование пустого пространства. Таким образом, корпускулярный мир Левкиппа – Демокрита образован двумя фундаментальными началами – атомами и пустотой, и материя при этом обладает атомистической структурой. Атомы по представлению древних греков не возникают и не уничтожаются, их вечность проистекает из бесконечности времени.

Современные представления о природе микромира, сочетают в себе обе концепции. С одной стороны, наш мир действительно состоит из отдельных частичек, т. е. того, что древние греки называли атомами. Число этих частичек в наблюдаемой нами Вселенной конечно, хотя и очень большое. С другой стороны, в наблюдаемом нами пространстве нет пустоты, поскольку, например, такие составляющие материи как фотоны пространственно не разделены и обладая свойствами непрерывности, полностью заполняют его.

Система как совокупность частиц (корпускулярное описание). Прежде чем говорить о континуальном подходе, напомним, каким образом можно описать мир дискретных частиц на основе классических представлений.

Рассмотрим в качестве примера Солнечную систему. В простейшей модели, когда планеты рассматриваются как материальные точки, для описания достаточно задать координаты всех планет. Совокупность координат в некоторой системе отсчета обозначают следующим образом: { x_i(t), y_i(t), z_i(t) }, здесь индекс i нумерует планеты, а параметр t обозначает зависимость этих координат от времени. Задание всех координат в зависимости от времени полностью определяет конфигурацию планет Солнечной системы в любой момент времени.

Если мы хотим уточнить наше описание, необходимо задать дополнительные параметры, например, радиусы планет, их массы и т. д. Чем точнее мы хотим описать Солнечную систему, тем больше различных параметров для каждой из планет мы должны рассматривать.

Таким образом, при дискретном (корпускулярном) описании некоторой системы необходимо задать различные параметры, характеризующие каждую из составляющих системы. Если эти параметры зависят от времени, необходимо учесть эту зависимость.

Система как непрерывный объект (континуальное описание). Обращаясь к эпиграфу, рассмотрим теперь такую систему, как лес. Однако чтобы дать характеристику лесу, довольно бессмысленно перечислять всех представителей растительного и животного мира данного леса. И не только потому, что это слишком утомительная, если вообще возможная, задача. Заготовителей древесины, грибников, военных, экологов интересуют разные сведения. Как построить адекватную модель описания данной системы?

Например, интересы лесозаготовителей можно учесть, рассмотрев среднее количество (в кубометрах) деловой древесины на квадратный километр леса в данном районе. Обозначим эту величину через M. Поскольку она зависит от района, который рассматривается, введем координаты x и y, характеризующие район и обозначим зависимость M от координат как функцию M(x,y). Наконец, величина M зависит от времени (одни деревья растут, другие – гниют, происходят пожары и т. д.). Поэтому для полного описания необходимо знать зависимость этой величины и от времени M(x,y,t). Тогда величины можно реально, хотя и приближенно, сделать оценки, исходя из наблюдения за лесом.

Поле

Гравитационное поле. Вспомним курс физики. Вы изучали закон всемирного тяготения, в соответствии с которым все тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Рассмотрим какое-либо из тел Солнечной системы и обозначим его массу через m. В соответствии с законом всемирного тяготения на это тело действуют все другие тела Солнечной системы, и суммарная гравитационная сила, которую мы обозначим через , равна векторной сумме всех этих сил. Поскольку каждая из сил пропорциональна массе m, то суммарную силу можно представить в виде: . Векторная величина зависит от расстояния до других тел Солнечной системы, т. е. от координат выбранного нами тела. Из определения, которое было дано в предыдущем параграфе, следует, что величина является полем. Данное поле имеет название гравитационное поле.

Вблизи поверхности Земли сила, действующая на какое-либо тело, например на вас, со стороны Земли намного превосходит все остальные гравитационные силы. Это знакомая вам сила тяжести. Так как сила тяжести связана с массой тела соотношением , то вблизи поверхности Земли есть просто ускорение свободного падения.

Поскольку величина не зависит от массы или какого-либо другого параметра выбранного нами тела, то, очевидно, что если в ту же самую точку пространства поместить другое тело, то сила, действующая на него, будет определяться той же самой величиной , умноженной на массу нового тела. Таким образом, действие гравитационных сил всех тел Солнечной системы на некоторое пробное тело, можно описать как действие гравитационного поля на это пробное тело. Слово пробное означает, что этого тела может и не быть, поле в данной точке пространства все равно существует и не зависит от наличия этого тела. Пробное тело служит просто для того, чтобы можно было измерить это поле при помощи измерения суммарной гравитационной силы, действующей на него.

Совершенно очевидно, что в наших рассуждениях можно и не ограничиваться Солнечной системой, можно рассматривать любую, сколь угодно большую систему тел.

Гравитационную силу, создаваемую некоторой системой тел и действующую на пробное тело, можно представить как действие гравитационного поля, создаваемого всеми телами (за исключением пробного) на пробное тело.

Электромагнитное поле. Электрические силы очень похожи на гравитационные, только действуют они между заряженными частицами, причем для одноименно заряженных частиц – это силы отталкивания, а для разноименно заряженных – силы притяжения. Закон подобный закону всемирного тяготения – это закон Кулона. В соответствии с ним сила, действующая между двумя заряженными телами, пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.

В силу аналогии между законом Кулона и законом всемирного тяготения то, что говорилось о гравитационных силах, можно повторить для электрических сил, и представить силу, действующую со стороны некоторой системы заряженных тел на пробный заряд q в виде: . Величина характеризует знакомое вам электрическое поле и называется напряженностью электрического поля. Вывод, касающийся гравитационного поля можно почти дословно повторить для электрического поля.

Электрическую силу, создаваемую некоторой системой заряженных тел и действующую на пробный заряд, можно представить как действие электрического поля, создаваемого всеми заряженными телами (за исключением пробного) на пробный заряд.

Взаимодействие между заряженными телами (или просто зарядами), как уже говорилось, очень похоже на гравитационное взаимодействие между любыми телами. Однако есть одно очень существенное отличие. Гравитационные силы не зависят от того, движутся тела, или неподвижны. А вот сила взаимодействия между зарядами изменяется, если заряды движутся. Например, между двумя одинаковыми неподвижными зарядами действуют силы отталкивания. Если же эти заряды движутся, то силы взаимодействия изменяются. В дополнение к электрическим силам отталкивания появляются силы притяжения.

Вы уже знакомы с этой силой из курса физики. Именно эта сила вызывает притяжение двух параллельных проводников с током. Эта сила называется магнитной силой. Действительно, в параллельных проводниках с одинаково направленными токами заряды движутся, как показано на рисунке, а значит, притягиваются магнитной силой. Сила, действующая между двумя проводниками с током, есть просто сумма всех сил, действующих между зарядами. Почему же в этом случае исчезает электрическая сила?

Все очень просто. Проводники содержат как положительные, так и отрицательные заряды, причем количество положительных зарядов в точности равно количеству отрицательных зарядов. Поэтому в целом электрические силы компенсируются. Токи же возникают вследствие движения только отрицательных зарядов, положительные заряды в проводнике неподвижны. Поэтому магнитные силы не компенсируются.

Механическое движение всегда относительно, т. е. скорость всегда задается относительно некоторой системы отсчета и изменяется при переходе от одной системы отсчета к другой.

А теперь посмотрите внимательно на рисунок 21. Чем отличаются рисунки а и б? На втором рисунке заряды движутся. Но это движение только в определенной, выбранной нами системе отсчета. Мы можем выбрать другую систему отсчета, в которой оба заряда неподвижны. И тогда магнитная сила исчезает. Это наводит на мысль, что электрическая и магнитная силы – это силы одной природы. И это действительно так. Опыт показывает, что существует единая электромагнитная сила, действующая между зарядами, которая по-разному проявляется в различных системах отсчета. Соответственно, можно говорить о едином электромагнитном поле, которое представляет собой совокупность двух полей – электрического поля и магнитного поля. В различных системах отсчета электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля могут проявляться по-разному. В частности может оказаться, что в какой-то системе отсчета исчезает электрическая или магнитная составляющая электромагнитного поля. Таким образом, из относительности движения следует, что электрическое взаимодействие и магнитное взаимодействие есть две составляющих единого электромагнитного взаимодействия.

Но, если так, то можно повторить вывод, касающийся электрического поля.

Электромагнитную силу, создаваемую некоторой системой зарядов и действующую на пробный заряд, можно представить как действие электромагнитного поля, создаваемого всеми зарядами (за исключением пробного) на пробный заряд.

Не следует думать, что только гравитационное и электромагнитное взаимодействия могут быть выражены через посредство соответствующего поля. Метод описания взаимодействия при помощи полей нашел широкое применение в физике микромира. Этот метод может применяться при описании самых различных взаимодействий. Например, архимедова сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, или на воздушный шар в воздухе, выражается следующим образом: F _A = r gV, где g - ускорение свободного падения, V – объем тела, погруженного в жидкость, или находящегося в воздухе, аr – плотность жидкости или воздуха. Как известно, плотность воздуха уменьшается с высотой, т. е. зависит от координат. Плотность воды также изменяется с глубиной погружения, в океанских глубинах плотность воды несколько больше, чем вблизи поверхности океана. Отсюда следует, что плотность зависит от координат, которые имеет тело, находящееся под действием архимедовой силы. Т. е. можно ввести поле плотности, которое при действии на тело приводит к возникновению силы Архимеда.

Другой пример связан с силами, действующими на тело, обтекаемое потоком жидкости или газа. К таким силам относятся сила сопротивления движению в водной или газовой среде, и подъемная сила, действующая на крыло самолета. Поток жидкости или газа – это поле скоростей (см. предыдущий параграф). Это поле воздействует на каждый участок поверхности тела, находящегося в потоке, что и приводит к возникновению силы сопротивления и подъемной силы.

Общий вывод, который можно сделать, исходя из примеров, рассмотренных в данном параграфе: многие силы, действующие на тело, находящееся в вакууме или в непрерывной среде, можно представить как результат действия на тело соответствующих полей. К подобным силам относятся, в частности, гравитационная и электромагнитная силы.