Решение. 1. Определим положение центра тяжести сечения и главных центральных осей инерции

1. Определим положение центра тяжести сечения и главных центральных осей инерции.

Разбиваем поперечное сечение стержня на три простые фигуры: прямоугольник 1, треугольник 2 и полукруг 3. Обозначаем центры тяжестей фигур и проводим через них собственные центральные оси z_i, y_i.

Рис. 17. Поперечное сечение стержня

Примечание. Центр тяжести полукруга лежит на оси его симметрии. Расстояние от основания полукруга до центра тяжести определяется по формуле .

Начальные оси z ₀ y ₀ совместим с центральным осями полукруга. Тогда координаты центра тяжести сечения относительно начальных осей будут равны:

(т. к. сечение симметрично относительно оси y ₀);

,

где A ₁, A ₂, A ₃ – площади прямоугольника, треугольника и полукруга соответственно; y ₁, y ₂, y ₃ – координаты центра тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга в начальных осях.

Примечание. Т. к. полукруг вырезан из сечения, то его геометрические характеристики подставляем в формулы со знаком «–».

A ₁ = 12 ×16 = 192 см²; ;

; y ₂ = 16 – 2,12 + 2 =15,88 см;

; y ₃ = 0;

.

По рассчитанным координатам z_C = 0 и y_C = 9,01 см обозначаем на чертеже центр тяжести всего сечения (точка C) и проводим через него центральные оси z_Cy_C.

Поскольку сечение симметрично относительно оси y_C, центробежный момент инерции сечения относительно осей z_Cy_C будет равен нулю (Iz_Cy_C = 0), и поэтому оси z_Cy_C будут главными центральными осями инерции сечения.

2. Определим геометрические характеристики сечения.

Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей z_Cy_C рассчитываем по формулам:

;

,

где , – осевые моменты инерции i -ой фигуры относительно собственных центральных осей («табличные моменты инерции», см. таблицу п. 5 приложения 4); a_i, b_i – координаты центра тяжести i-ой фигуры в главных осях z_Cy_C.

Для прямоугольника:

; ;

a ₁ = y ₁ – y_C = 5,88 – 9,01 = –3,13 см; b ₁ = 0.

Для треугольника:

; ;

a ₂ = y ₂ – y_C = 15,88 – 9,01 = 6,87 см; b ₂ = 0.

Для полукруга:

;

;

a ₃ = y ₃ – y_C = 0 – 9,01 = –9,01 см; b ₃ = 0.

Тогда осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей z_Cy_C будут равны

.

Площадь сечения: A = A ₁ + A ₂ – A ₃ = 192 + 36 – 39,25 = 188,75 см².

Главные центральные радиусы инерции сечения вычисляем по формулам:

; .

3. Определим положение нейтральной линии сечения.

Для этого рассчитаем координаты точек пересечения нейтральной линии с главными осями сечения z_Cy_C по формулам:

; ,

где z_F, y_F – координаты точки приложения силы в главных центральных осях.

По условию сила приложена в точке B. Используя рисунок 17, находим: z_F = z_B = –6 см, а y_F = y_B = 4,87 см.

Тогда

; .

Используя рассчитанные координаты z ₀ и y _0, обращая внимание на знаки, наносим точки пересечения нейтральной линии N и M на главные центральные оси сечения z_Cy_C и проводим через них прямую, которая и будет нейтральной линией сечения.

4. Определим положение опасных точек сечения.

Опасными будут точки B и D, как наиболее удаленные от нейтральной линии.

Используя чертеж, определяем координаты опасных точек: точка B (–6; 4,87), точка D (6; –11,13).

5. Определим напряжения в опасных точках.

При внецентренном растяжении (сжатии) напряжение в произвольной точке сечения рассчитывается по формуле:

,

где z_i, y_i – координаты точки, в которой рассчитывают напряжение.

Примечание. Знак «–» перед формулой ставят в том случае, если внешняя сила направлена к сечению стержня, а знак «+» – если сила направлена от сечения стержня.

Таким образом, максимальное сжимающее напряжение будет возникать в точке B, т. к. s _B < 0, а максимальное растягивающее – в точке D, т. к. s _D > 0:

; .

6. Оцениваем прочность стержня.

Для обеспечения прочности стержней, изготовленных из хрупких материалов, должны одновременно выполняться условия прочности по растягивающим и сжимающим напряжениям:

; ,

где [s_р], [s_с] – допускаемые напряжения для материала стержня на растяжение и сжатие соответственно.

Для заданного стержня:

– условие прочности по растягивающим напряжениям не выполняется;

– условие прочности по сжимающим напряжениям выполняется.

Поскольку условие прочности по растягивающим напряжениям не выполняется, следовательно, условие прочности для стержня не выполняется.

Ответ: Условие прочности для стержня не выполняется.