Теорема 9.2

1. Для любой системы открытых множеств их объединение также открытое множество.

2. Для конечной системы открытых множеств их пересечение также открытое множество.

3. Для любой системы замкнутых множеств их пересечение

также замкнутое множество.

4. Для конечной системы замкнутых множеств их объединение также замкнутое множество.

►Пусть . Тогда, при некотором точка и, так как все - открытые множества, некоторая окрестность также входит в , а следовательно, . Первое утверждение доказано.Рассмотрим теперь . Для любого существует число такое, что . Положим . Тогда и, поэтому, . Второе утверждение доказано.Для доказательства третьего и четвёртого утверждений достаточно применить законы де Моргана:

,

доказанные первое и второе утверждение и теорему 9.1.◄

Замечание. Бесконечное пересечение открытых множеств может оказаться замкнутым множеством. Например, если , то . В этом легко убедиться так: точки отрезка, разумеется, входят в пересечение всех интервалов . Пусть . Если выбрать число так, чтобы выполнялось неравенство (что выполняется при ), то и . Аналогично проверяется, что если , то .

Бесконечное объединение замкнутых множеств может оказаться открытым множеством. Например, если , то . В данном случае очевидно, что никакое число и никакое число не принадлежат , так как не входят ни в одно из множеств . Осталось доказать, что для любого числа существует номер такой, что . Для этого достаточно, чтобы одновременно выполнялись неравенства , что будет верно, если .

9.1.4. Компактные множества в пространстве

Определение. Множество называется компактным, если из любой бесконечной системы открытых множеств такой, что можно выбрать конечное число так, что .

Иными словами, из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Это – общее определение компактного множества, использующееся не только в пространстве . В пространстве компактные множества можно описать более наглядным способом.

Теорема 9.3. компактно тогда и только тогда, когда оно ограниченное (т.е. содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое (без доказательства).

Иногда утверждение этой теоремы принимают за определение компактного множества в .

По этой теореме, например, замкнутый шар в с центром в точке и радиуса , представляющий собой множество точек , удовлетворяющих условию и замкнутый параллелепипед, представляющий собой множество точек , удовлетворяющих системе двойных неравенств , являются компактными множествами.