![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Глава 9. Пространство, множества в нем. Отображения и функции
9.1.1. Пространство
Напомним, что арифметическое n-мерное пространство представляет собой множество точек
Это множество представляет собой векторное пространство с операциями суммы и произведения на число
, определяемыми следующим образом:
Проверка аксиом векторного пространства не представляет труда.
Более того, – это евклидово пространство со скалярным произведением, определённым равенством
. (1)
Напомним, что скалярное произведение должно обладать следующими свойствами:
1. .
2. .
3. .
4. .
Проверка того, что определённая равенством (1) величина действительно обладает этими свойствами, труда не представляет.
В пространстве определена норма вектора
, равная
и расстояние между и
,заданное формулой
. (2)
При и
эта формула становится известной формулой для расстояний на плоскости и в пространстве, поэтому общую формулу (2) для расстояния можно рассматривать как естественное обобщение известных формул на случай n -мерного пространства.
Введённая формулой (2) величина обладает следующими свойствами
1.
, причем
;
2.
;
3.
Эти свойства называются аксиомами расстояния(метрики). Первые два из них очевидны для величины (2). Докажем свойство 3, которое называется неравенством треугольника.
Для этого рассмотрим величину , где
произвольные векторы,
любое число. По свойству 4 скалярного произведения для любого
выполняется неравенство
. Используя свойства 1-3 скалярного произведения, перепишем это неравенство в виде
, или
. То, что квадратный трёхчлен неотрицателен при любом
, означает, что его дискриминант неположителен, т.е. что
. Это неравенство, кстати, выполняется и при
. Таким образом, доказано, что для всех векторов
справедливо неравенство
, (3)
называемое неравенством Коши-Буняковского. Отметим, что в его левой части стоит модуль числа, равного скалярному произведению векторов, в правой части - произведение норм векторов. Из этого неравенства следует неравенство для норм векторов
. (4)
Для доказательства (4) рассмотрим квадрат левой части (4) и используем (3):
.
Теперь, чтобы доказать неравенство , осталось переписать его в виде
и применить неравенство (4)
.
Определение. Множество, на котором определена функция , обладающая свойствами 1-3, называется метрическим пространством,
а - метрикой (или расстоянием) а этом пространстве.
Итак, - метрическое пространство с расстоянием (2). При
это обычная числовая прямая, при
и
, соответственно, плоскость и пространство. Удобство в рассмотрении абстрактного пространства
состоит, в частности, в том, что не имея интуитивного представления о геометрии этого пространства при
мы можем, тем не менее, вычислять расстояния (и углы) в этом пространстве.
9.1.2. Внутренние, предельные, граничные точки множества в пространстве
Изучая этот пункт, полезно вспомнить пункт 2.2.5, где все приведённые ниже определения вводились в случае .
Определение. - окрестностью точки
называется множество точек
таких, что
. Обозначим ее
. При
это - интервал
.
-окрестность в
изображена на рисунке:
Определение. Пусть . Тогда
называется внутренней точкой этого множества, если она входит в это множество вместе с некоторой окрестностью, т.е.
.
Определение. - открытое множество, если все его точки – внутренние.
Примеры: интервал в , круг без границы в
.
(())
Определение. Пусть . Точка
называется предельной точкой множества
, если любая проколотая окрестность этой точки пересекается с множеством
, т.е.
.
Определение. Множество называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.
Примеры: отрезок в , круг с границей в
.
Замечание. Не следует считать, что любое множество является либо открытым, либо замкнутым. Примером, опровергающим это предположении, служит полуинтервал в .
Исследуем этот вопрос подробнее.
Определение. Пусть . Точка
называется граничной точкой множества
, если любая проколотая окрестность этой точки пересекается с как с множеством
, так и с его дополнением, т.е.
.
Осталось заметить, что открытое множество не содержит своих граничных точек, а замкнутое множество – содержит свои граничные точки.
Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные», т.е. .
Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.
9.1.3. Открытые и замкнутые множества в пространстве
Свойства открытых и замкнутых множеств в описывают следующие теоремы.
Теорема 9.1. Дополнение к открытому множеству представляет собой замкнутое множество
, а дополнение к замкнутому множеству
представляет собой открытое множество
.
► Пусть - открытое множество этого пространства и пусть точка
предельная точка его дополнения
. Требуется доказать, что
. Если это не так, т.е.
, то
и, следовательно,
. Тогда
, вопреки тому, что точка
предельная точка
.
Обратно, пусть - замкнутое множество и пусть
- его дополнение. Пусть точка
. Требуется доказать, что
.Из условия
следует, что
и, следовательно,
не предельная точка
. Поэтому
. Это означает, что
и, значит,
, так как
.◄
Замечание. Всё пространство и пустое множество являются одновременно как открытыми, так и замкнутыми множествами.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 294 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!