Пространство , множества в нем

Глава 9. Пространство, множества в нем. Отображения и функции

9.1.1. Пространство

Напомним, что арифметическое n-мерное пространство представляет собой множество точек
Это множество представляет собой векторное пространство с операциями суммы и произведения на число , определяемыми следующим образом:

Проверка аксиом векторного пространства не представляет труда.

Более того, – это евклидово пространство со скалярным произведением, определённым равенством

. (1)

Напомним, что скалярное произведение должно обладать следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

4. .

Проверка того, что определённая равенством (1) величина действительно обладает этими свойствами, труда не представляет.

В пространстве определена норма вектора , равная

и расстояние между и ,заданное формулой

. (2)

При и эта формула становится известной формулой для расстояний на плоскости и в пространстве, поэтому общую формулу (2) для расстояния можно рассматривать как естественное обобщение известных формул на случай n -мерного пространства.

Введённая формулой (2) величина обладает следующими свойствами

1. , причем ;

2. ;

3.

Эти свойства называются аксиомами расстояния(метрики). Первые два из них очевидны для величины (2). Докажем свойство 3, которое называется неравенством треугольника.

Для этого рассмотрим величину , где произвольные векторы, любое число. По свойству 4 скалярного произведения для любого выполняется неравенство . Используя свойства 1-3 скалярного произведения, перепишем это неравенство в виде

, или . То, что квадратный трёхчлен неотрицателен при любом , означает, что его дискриминант неположителен, т.е. что . Это неравенство, кстати, выполняется и при . Таким образом, доказано, что для всех векторов справедливо неравенство

, (3)

называемое неравенством Коши-Буняковского. Отметим, что в его левой части стоит модуль числа, равного скалярному произведению векторов, в правой части - произведение норм векторов. Из этого неравенства следует неравенство для норм векторов

. (4)

Для доказательства (4) рассмотрим квадрат левой части (4) и используем (3):

.

Теперь, чтобы доказать неравенство , осталось переписать его в виде и применить неравенство (4) .

Определение. Множество, на котором определена функция , обладающая свойствами 1-3, называется метрическим пространством,
а - метрикой (или расстоянием) а этом пространстве.

Итак, - метрическое пространство с расстоянием (2). При это обычная числовая прямая, при и , соответственно, плоскость и пространство. Удобство в рассмотрении абстрактного пространства состоит, в частности, в том, что не имея интуитивного представления о геометрии этого пространства при мы можем, тем не менее, вычислять расстояния (и углы) в этом пространстве.

9.1.2. Внутренние, предельные, граничные точки множества в пространстве

Изучая этот пункт, полезно вспомнить пункт 2.2.5, где все приведённые ниже определения вводились в случае .

Определение. - окрестностью точки называется множество точек таких, что . Обозначим ее . При это - интервал . -окрестность в изображена на рисунке:

Определение. Пусть . Тогда называется внутренней точкой этого множества, если она входит в это множество вместе с некоторой окрестностью, т.е. .

Определение. - открытое множество, если все его точки – внутренние.

Примеры: интервал в , круг без границы в .

(())

Определение. Пусть . Точка называется предельной точкой множества , если любая проколотая окрестность этой точки пересекается с множеством , т.е. .

Определение. Множество называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры: отрезок в , круг с границей в .

Замечание. Не следует считать, что любое множество является либо открытым, либо замкнутым. Примером, опровергающим это предположении, служит полуинтервал в .

Исследуем этот вопрос подробнее.

Определение. Пусть . Точка называется граничной точкой множества , если любая проколотая окрестность этой точки пересекается с как с множеством , так и с его дополнением, т.е. .

Осталось заметить, что открытое множество не содержит своих граничных точек, а замкнутое множество – содержит свои граничные точки.

Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные», т.е. .

Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.

9.1.3. Открытые и замкнутые множества в пространстве

Свойства открытых и замкнутых множеств в описывают следующие теоремы.

Теорема 9.1. Дополнение к открытому множеству представляет собой замкнутое множество , а дополнение к замкнутому множеству представляет собой открытое множество .

► Пусть - открытое множество этого пространства и пусть точка предельная точка его дополнения . Требуется доказать, что . Если это не так, т.е. , то и, следовательно, . Тогда , вопреки тому, что точка предельная точка .

Обратно, пусть - замкнутое множество и пусть - его дополнение. Пусть точка . Требуется доказать, что .Из условия следует, что и, следовательно, не предельная точка . Поэтому . Это означает, что и, значит, , так как .◄

Замечание. Всё пространство и пустое множество являются одновременно как открытыми, так и замкнутыми множествами.