Вметрологии в качестве меры рассеяния чаще используют среднеквадратическое отклонение

.

Рис. 9. Графики плотности распределения вероятности отсчета при различной дисперсии

Находит применение и третий центральный момент:

.

Мерой несимметричности распределения вероятности служит асимметрия

,

которая может быть положительной и отрицательной. Для симметричных распределений вероятности отсчета асиммет­рия равна нулю. На рис. 10 в качестве иллюстрации приве­дены примеры симметричного и несимметричных законов распределения вероятности с разными математическими ожи­даниями.

Рис. 10. Симметричное и несимметричные распределения плот­ности вероятности отсчета

Четвертый центральный момент используется для оценки заостренности дифференциальной функции распределения вероятности. Мерой заостренности служит эксцесс

,

равный трем у закона распределения вероятности отсчета, кривая плотности вероятности которого имеет колоколо-образную форму. Кривые с более острой вершиной имеют больший эксцесс, с более пологой — меньший, вплоть до от­рицательного (рис. 11).

Рис. 11. Дифференциальные функции распределения ве­роятности отсчета различ­ной степени заостренности

Мерой неопределенности случайного числа является энтро­пия

,

среднее значение логарифма плотности вероятности, взятое со знаком минус. Так как р(х) < 1, то энтропия всегда положи­тельна. Она равна нулю у неслучайного числа и максимальна при равномерной плотности распределения вероятности.

Модели эмпирических законов распределения вероятности отсчета — дифференциальная и интегральная функции рас­пределения вероятности, как и все без исключения моменты, обладают важным качеством: будучи характеристиками слу­чайного числа, сами они не являются случайными. Описание с их помощью отсчета или результата измерения было бы очень удобным, если бы эти характеристики можно было получить. Но на практике это невозможно, так как измери­тельная процедура по формулам (2), (7) не может быть повторена бесконечное число раз. Поэтому и в дальнейшем они будут использоваться только в качестве моделей. Некото­рые сведения о наиболее часто используемых в метрологии моделях приведены в табл. 6.

2.3. ВЛИЯЮЩИЕ ФАКТОРЫ

Получение отсчета (либо принятие решения) — основная измерительная процедура. Однако, как отмечалось в разд. 2.1. во внимание должно приниматься еще множество факто­ров, учет которых представляет иногда довольно сложную задачу. При подготовке и проведении высокоточных изме­рений в метрологической практике учитывается влияние

- объекта измерения;

- субъекта (эксперта или экспериментатора);

- способа измерения;

- средства измерения;

- условий измерения.

Объект измерений должен быть достаточно изучен. Например, при измерении диаметра вала должна быть уверенность в том, что он круглый. В противном случае мо­жет быть необходимо, измерять эллиптичность его сечения. При из­мерении площадей сельскохозяйственных угодий пренебрега­ют кривизной Земли, чего нельзя делать при измерении по­верхности океанов. Измеряя плотность вещества, нужно быть уверенным в отсутствии инородных включений. При измерении периода обращения Земли вокруг Солнца можно заранее пренебречь его неравномерностью, а можно наобо­рот сделать ее объектом исследования. Таким образом, пе­ред измерением необходимо представить себе модель иссле­дуемого объекта, которая в дальнейшем, по мере поступления измерительной информации, может изменяться и уточняться. Чем полнее модель соответствует измеряемому объекту или исследуемому явлению, тем точнее измерительный экспери­мент,

Эксперт или экспериментатор вносят в процесс измерения элемент субъективизма, который по воз­можности должен быть уменьшен. Он зависит от квалифи­кации измерителя, его психофизиологического состояния, соблюдения эргономических требований при измерениях и много другого. Все эти факторы заслуживают внимания. К измерениям допускаются лица, прошедшие специальную подготовку, имеющие соответствующие знания, умения и практические навыки. В ответственных случаях их действия должны быть строго регламентированы. Особенно большую роль играет профессиональная подготовка экспертов при эвристических и органолептических измерениях (см. разд. 4.1). Важное значение имеет также настроение человека, его собранность, внимание, режим труда и отдыха. Наибольшая работоспособность наблюдается в утренние и дневные часы — с 8 до 12 ч. и с 14 до17 ч. В период с 12 до 14 ч. и в вечернее время отмечается, как правило, снижение работоспособности, а в ночную смену она минимальна. Начало смены — период вхождения в работу — длится утром примерно от 30 мин до 1,5 ч. Затем работоспособность стабилизируется на 1,5... 2,5 ч. К середине дня начинается спад. После обеденного пе­рерыва работоспособность снова повышается, но наивысшего уровня уже не достигает. В конце рабочего дня наступает спад, обусловленный утомлением.

Санитарно-гигиеничсские условия труда включают такие факторы, как микроклимат, всевозможные излучения, чисто­ту воздуха, освещение, производственный шум, вибрацию и т.д.

Острота зрения и длительность ясного видения в значи­тельной степени зависят от условий освещения. Люди с нор­мальным зрением способны различать мелкие предметы лишь при освещенности 50... 70 лк. Максимальная острота зрения наступает при освещенности 600... 1000 лк. Освещение мо­жет быть как естественным, так и искусственным. Наиболее благоприятным является естественное освещение, производи­тельность труда при котором на 10 % выше, чем при искусст­венном. Дневной свет должен быть рассеянным и не иметь бликов. Во избежание действия солнечных лучей на окна лаборатории следует повесить белые шторы. Искусственное освещение помещений должно быть люминесцентным рас­сеянным. Источники света необходимо заключать в арматуру с матовым или молочным стеклом. В зависимости от особен­ностей трудового процесса применяются три системы освеще­ния: общее (для освещения всего помещения), местное (не­посредственно на рабочем месте) и комбинированное, сочета­ющее общее и местное. Общее освещение допустимо в поме­щении, где проводят механические измерения невысокой точ­ности, когда направление света не играет особой роли. Комбинированное освещение требуется при высокоточных измерениях, когда для различения мелких деталей свет должен падать под определенным углом. Одно лишь мест­ное освещение нормами не допускается, так как оно при­водит к неравномерному распределению яркости в поле зре­ния наблюдателя. Это резко снижает производительность труда, увеличивает число ошибок в работе, приводит к быст­рому утомлению. В оптимальных же условиях время ясного видения (с хорошей остротой) при непрерывной работе составляет 3 ч. Оно зависит от освещенности и сокращается при 50 лк на 57 %, при 75 лк—на 50%, при 100 лк—на 26%, при 200 лк — на 15 %.

Измерительные приборы размещают в поле зрения опера­тора в зоне, ограниченной углами ± 30° от оси в горизон­тальной и вертикальной плоскостях. Отсчетные устройства располагают перпендикулярно линии зрения оператора. Опти­мальное расстояние от шкалы до глаз оператора определяют по формуле

,

где h — высота знака, подлежащего считыванию; — угол, равный 40 … 50'. Для различения отметки шкалы с угловым размером 30... 40' необходимо время 0,03 с, а с размером 3... 6' — до 0,3 с. По контрастности отметки шкал должны на порядок отличаться от фона. По данным профессора М.Ф. Маликова в зависимости от индивидуальных особеннос­тей операторов, связанных с их реакцией, измерительными на­выками и т.п., неточность глазомерного отсчета по шкалам из­мерительных приборов достигает ± 0,1 деления шкалы.

Уровень шума в лабораториях не должен превышать 40... 45 дБ. Повышению производительности труда способ­ствует функциональная музыка, снижающая утомляемость, повышающая работоспособность, улучшающая эмоциональное состояние людей, имеющая эстетическое значение. Рекоменду­емая продолжительность звучания музыки за смену 1,5... 2,5 ч. В музыкальные передачи должны включаться мелодич­ные, ненавязчивые популярные мелодии с легким и ясным музыкально-ритмическим рисунком, со спокойным темпом.

Очень часто измерение одной и той же величины разны­ми способами дает совершенно непохожие результаты. Каж­дый из этих способов имеет свои достоинства и недостатки. В преодолении таких недостатков, в непрерывном совершен­ствовании измерений состоит искусство экспериментатора. Здесь нет, и не может быть готовых рецептов, хотя со вре­менем выработались определенные приемы, знание которых полезно. Рассмотрим некоторые из них.

2.3.1. ИСКЛЮЧЕНИЕ ВЛИЯЮЩИХ ФАКТОРОВ

Способ замещения состоит в замене измеря­емой величины равновеликой ей мерой, значение которой из­вестно. Реакция средства измерений при этом должна остать­ся такой же. Например, при взвешивании груза на равнопле­чих весах его масса считается равной массе уравновешиваю­щих гирь. Однако это справедливо только при строгом ра­венстве плеч, так как равновесие коромысла определяется не равенством сравниваемых масс, а равенством произведений силы на плечо. На практике плечи строго не равны между собой. Поэтому груз уравновешивается не равным ему по массе набором гирь. При использовании способа замещения тот же груз уравновешивается любой тарой, а потом заменя­ется набором гирь, при котором сохраняется равновесие ко­ромысла. Очевидно, что масса груза в таком случае равна мас­се гирь, а влияние неравноплечести весов оказывается исклю­ченным.

Точно так же, включив измеряемое сопротивление в мостовую схему и уравновесив ее, заменяют его затем мага­зином сопротивлений и, подбирая сопротивление магазина, восстанавливают равновесие моста. Высокая точность измере­ния сопротивлений этим способом обеспечивается за счет исключения остаточной неуравновешенности мостовой схемы, взаимного влияния ее элементов, утечек и других паразит­ных факторов.

Компенсация влияющего фактора по знаку осуществляется следующим образом. Измерение проводится дважды так, чтобы влияющий фактор оказывал противоположное действие, и берется среднее арифметичес­кое двух опытов. Например, механические узлы некоторых средств измерений имеют люфты, влияние которых компенси­руется, если измерительный механизм подводится к измеря­емой величине сначала со стороны больших, а затем меньших значений (или наоборот). Можно скомпенсировать влияние постоянных магнитных полей, паразитных ТЭДС и т.п.

Если влияющий фактор приводит не к изменению измеряе­мого значения на некоторую величину, а к умножению его на некоторый коэффициент, то вместо компенсации по знаку применяется способ п ротивопоставления. Рас­смотрим его на примере взвешивания на равноплечих весах.

Условие равновесия коромысла записывается следующим образом:

ml₁ = m_гl₂,

где m — масса взвешиваемого груза; m_г — масса уравновеши­вающих гирь; l₁ и l₂ — соответствующие плечи коромысла. Таким образом, влияние неравноплечести весов проявляется в наличии множителя l₂/l₁:

Если повторить взвешивание, поместив груз на чашу весов, на которой ранее были гири, получим:

,

где m_г ^‘ m_г. Разделив первое условие равновесия на второе, найдем, что:

,

откуда

,

или, с достаточной степенью точности:

m = ,

т. е. влияние неравноплечести весов оказывается исклю­ченным.

Для исключения прогрессирующего влияния какого-либо фактора, являющегося линейной функцией времени (напри­мер, постепенного прогрева аппаратуры, падения напряжения в цепи питания, вызванного разрядом аккумуляторов или электрических батарей, потери эмиссии катодов радиоламп и т.п.) применяется способ симметричных измерений. Он заключается в том, что в течение некоторого интервала времени выполняется несколько, измерений одного и того же размера, и затем берется полусумма от­дельных результатов, симметричных по времени относи­тельно середины интервала. Иногда для этого несколько из­мерений повторяют в обратной последовательности, и тогда аналогия с методом компенсации влияющего фактора по знаку становится очевидной, с той лишь разницей, что ком­пенсации в середине временного интервала не происходит.

2.3.2. ВНЕСЕНИЕ ПОПРАВОК

Если измерения не удается организовать так, чтобы исключить или скомпенсировать влияющие факторы, то в показания средств измерений вносятся поправки. Рассмот­рим несколько примеров, иллюстрирующиххарактер поп­равок, обусловленных особенностями измерений.

Пример 5. Согласно общей теории относительности свет, проходя вблизи тел большой массы, отклоняется под влияниемих гравитаци­онного поля от своего первоначального направления. В результате в угловые координаты некоторых звезд, полученные посредством изме­рений, приходится вносить так называемые релятивистские поправки. Их значения определяются расчетным путем. Правильность расчетов можно проверить экспериментально. Для этого измеряют, например, отклонение луча света Солнцем. На фоне Солнца звезды не видны, поэ­тому измерения проводят во время полного солнечного затмения. Схема наблюдений показана на рис. 12. Так как свет от звезды 1 отклоняется

Солнцем, она видна в точке 1 ', смещенной в направлении звез­ды 2. Впервые это явление наблюдал Эддингтон 29 мая 1919 г. во вре­мя полного солнечного затмения. Угловое смещение 1,75", измерен­ное Эддингтоном, совпало с расчетным значением релятивистской поп­равки, взятой с обратным знаком.

Пример 6. Координаты северного магнитного полюса, расположен­ного в Северо-Американском архипелаге (примерно 74,8° северной ши­роты и 99,6 западной долготы), и южного магнитного полюса в Антарк­тиде (примерно 67,5° южной широты и 140° восточной долготы) не сов­падают с географическими полюсами Земли. Поэтому не совпадают меж­ду собой истинные (географические) и магнитные меридианы. Угол d в плоскости горизонта между истинным и магнитным меридианами на­зывается магнитным склонением. Он может иметь значение от 0 до радиан и отсчитывается, как показано на рис. 13, от северной части ис­тинного меридиана в восточном направлении со знаком плюс, или в за­падном — со знаком минус. Если курс корабля определяется по магнит­ному компасу, то к углу между линией курса и направлением на север­ный магнитный полюс добавляется поправка, равная магнитному скло­нению, взятому со своим знаком.

Магнитные полюса перемещаются вокруг географических, вы­зывая так называемые вековые изменения магнитного поля Земли и, соответственно, магнитного склонения. Период вековых измене­ний магнитного склонения достигает нескольких сотен лет, а амплиту­да доходит до 1/6 рад. На морских навигационных картах приводит­ся магнитное склонение на определенный год и его последующее еже­годное увеличение или уменьшение по абсолютной величине. По этим данным и рассчитывается поправка, закономерно изменяющаяся с те­чением временя.

затухают сильнее, а магнитуды их меньше, чем у прямых сейсмических волн от взрывов в местах, не подвергавшихся геологически недав­нему подогреву. Если непосредственно использовать соотношение меж­ду магнитудой и мощностью взрыва в штате Невада для оценки мощ­ности ядерных взрывов на территории Советского Союза или в других регионах с малым затуханием, то результаты измерений окажутся завы­шенными в 2... 4 раза. До 1986 г. при определении экспертами правительства США мощности советских ядерных взрывов эта поправка ни учитывалась. Так создавался и поддерживался миф о военном превос­ходстве СССР в области стратегических ядерных вооружений.

Пример 8. При измерении ЭДС вольтметром внутреннее сопротив­ление источника питания обычно не учитывается. Между тем, пока­зание вольтметра V связано с измеряемой ЭДС Е соотношением

,

где R — внутреннее сопротивление вольтметра. Таким образом, даже при простейшем измерении вольтметром ЭДС его показание должно умножаться на поправочный множитель , определяемыйрасчетным путем.

Пример. 9. По измеренным значениям электрического тока, протека­ющего через сопротивление, и падению напряжения на нем требуется рас­считать значение этого сопротивления.

На рис. 16 показаны два возможных варианта включения измери­тельных приборов. В первом случаеиз показания амперметра нужно вычесть ток,

протекающий через вольтметр (см. рис. 16, с). При боль­шомзначении сопротивления R, соизмеримом с внутренним сопротив­лением вольтметра или даже превышающем его, эта поправка значи­тельна.

Во втором случае из показания вольтметра нужно вычесть падение напряжения на амперметре (см. рис. 16, б). Эта поправка значитель­на при небольших значениях R, меньших внутреннего сопротивления амперметраили соизмеримых с ним.

На практике схемы, показанные на рис. 16, а и 16, б, применяют со­ответственно при небольших и при больших значениях R, когда ука­занными поправками можно пренебречь.

Из рассмотренных примеров видно, что поправки могут быть аддитивными и мультипликативными (так называемые поправочные множители), постоянными и закономерно изме­няющимися с течением времени, существенными и несущественными, которыми можно пренебречь. Они могут опреде­ляться теоретически и экспериментально, представлять собой отдельные числа или функции, задаваемые в виде таблиц, графически или с помощью аналитических выражений.

Влияние средства измерений на измеряемую величину во многих случаях проявляется как возмущающий фактор. Включение электроизмерительных приборов приво­дит к перераспределению токов и напряжений в электричес­ких цепях и тем самым оказывает влияние на измеряемые ве­личины. Ртутный термометр, опущенный в пробирку с охлаж­денной жидкостью, подогревает ее и показывает не первона­чальную температуру жидкости, а температуру, при которой устанавливается термодинамическое равновесие. Магнитная стрелка возмущает магнитное поле и т.д. Если возмущающим действием средства измерений пренебречь нельзя, учет его нередко превращается в сложную самостоятельную задачу.

Другим влияющим фактором, который нужно учитывать, является инерционность средств измерений. При измерении быстропеременных процессов многие из них не успевают реагировать на изменение входного сигнала, в результате чего выходной сигнал оказывается искаженным по сравне­нию с входным. Подробно этот вопрос рассматривается в гл. 4.

Некоторые средства измерений дают постоянно завышен­ные или постоянно заниженные показания. Это может быть следствием дефекта при их изготовлении, некоторой нели­нейности преобразования, которое считается линейным, и многих других причин. Такие особенности средств изме­рений выявляются при их аттестации — всестороннем метро­логическом исследовании, в процессе которого их показания при измерении одной и той же физической величины сравнива­ются с показаниями более высокоточного средства измерений. Но итогам аттестации устанавливается поправка, которую нужно вносить в показания средства измерений. Эта по­правка также может быть аддитивной и мультипликатив­ной, числом или функцией, задаваться графиком, таблицей или формулой.

К числу влияющих факторов относятся также усло­вия измерений. Сюда входят температура окружаю­щей среды, влажность, атмосферное давление, электрические и магнитные поля, напряжение в сети питания, тряска, вибра­ция и многое другое. О том, какую роль могут играть усло­вия измерений, говорит следующий случай.

Пример 10. При выполнении тренировочного полета 27 марта 1968 г. самолет УТИ МИГ-15, пилотируемый Героями Советского - Союза Ю.А. Гагариным и B.C. Серегиным, попал в вихревой след другого ре­активного самолета и перешел в штопор. В плотной облачности (8... 10 баллов) с нижней границей на высоте 400... 600 м летчики ориен­тировались только по приборам, показания которых в таких условиях носят неустойчивый характер. Кроме того, работа приемника воздуш­ного давленияна нерасчетных режимах, запаздывание сигналов в про­водке к баровысотомеру и т. д. привели к завышению в показаниях высо­ты на 200... 300 м. Полагая запас высоты достаточным, летчики выво­дили самолетиз пикирования, не прибегая к катапультированию, пока это было еще возможно. После выхода из облачности при угле пики­рования 70... 90^о запаса времени для катапультирования оказалось уже недостаточно. Для спасения не хватило примерно 2 с, 250... 300 м высоты.

Влияние внешних факторов, к которым относятся условия измерений, учитывается теми же способами, которые были рассмотрены выше.

Пример 11. В магнитном поле Земли корабельная сталь намагничи­вается, и вокруг корабля создается собственное магнитное поле. Под его влиянием магнитный компас указывает направление, отличающееся от направления на северный магнитный полюс. Угол в плоскости гори­зонта между магнитным и компасным меридианами называется девиа­цией магнитного компаса. Девиация, как показано на рис. 13, отсчиты­вается от северной части магнитного меридиана в восточном направлении со знаком, плюс, а в западном — со знаком минус и может принимать значение от 0 до радиан. Периодически ее уничтожают с помощью специальных магнитов — компенсаторов и железа, но так как девиация зависит от курса корабля и географической широты его места, то пол­ностью уничтожить ее для всех условий невозможно. Остаточную девиа­цию на разных курсах определяют экспериментально, сравнивая ком­пасные направления с известными. Таблица девиации входит в "Справоч­ные таблицы штурмана". По ней находят поправку, которая при опреде­лении курса корабля по магнитному компасу алгебраически суммирует­ся с магнитным склонением.

2.3.3. СИТУАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В разд. 2.1 решение (4) уравнения измерения (2) полу­чилось приближенным из-за неточного знания поправки. Ситу­ации, в которых по какой-либо причине не хватает нужной количественной информации, часто встречаются в метроло­гии. Для математического описания таких ситуаций использу­ются ситуационные модели.

Предположим, например, что неизвестно значение Q не­которой физической величины Q. Требуется представить эту ситуацию математической моделью.

Если какие-либо значения Q более вероятны, чем другие, это должно быть принято во внимание. Тогда подбирается соответствующий закон распределения вероятности Q на ин­тервале возможных значений. Если же на этом интервале Q с одинаковой вероятностью может иметь любое значение, то закон распределения вероятности Q принимается равно­мерным.

Выбранный закон распределения вероятности Q является математической моделью ситуации, состоящей в том, что зна­чение Q неизвестно. Эта модель не является стохастической (случайной, вероятностной), так как Q — неслучайное значение, и статистические законо­мерности здесь не проявляются. Чтобы подчеркнуть это, у си­туационных моделей величину, аналогичную дисперсии, обоз­начают через .

Р(Q)

На рис. 17 представлена графически математическая мо­дель ситуации, состоящей в том, что значение Q с одинако­вой вероятностью может быть любым на интервале от — Q_m до Q_m. Так как площадь, ограниченная осью абсцисс и графиком плотности распределения вероятности должна равняться единице, то

.

Отсюда

P(Q)= .

Числовые характеристики этого "закона распределения ве­роятности" среднего значения

,

что видно непосредственно из рисунка; аналог дисперсии

.

Вместо аналога дисперсии часто используется аналог сред­него квадратического отклонения

.

Пример 12. В рабочих условиях измерений температура на 1000 К превышает нормальную. Средством измерений является металличес­кая линейка из тугоплавкого сплава. Чему равна температурная поп­равка при измерениях длины в таких условиях?

Решение. Зависимость длины линейки от температуры имеет вид:

,

где l_н и t_н— длина линейки и температура, соответствующие нормаль­ным условиям, а — коэффициент линейного расширения материала, из которого изготовлена линейка. Результат сравнения неизвестного значения L с l при в (1 + 1000 ) раз меньше результа­та сравнения L с l_н. Поэтому поправочный множитель (мультипликатив­ная температурная поправка)

æ = 1+1000α

Коэффициент линейного расширения сплава α обыч­но неизвестен. По справоч­ным данным он может быть в пределах от 10^-6 К^-1 до 10^-5 К^-1. Отсутствие точных сведений об α можно учесть с помощью ситуационной модели, сог­ласно которой æ с одина­ковой вероятностью может иметь любое значение в пределах интервала 1,001 æ 1,01. Графическое изображение ситуационной модели дано на рис. 18, а. Числовые характеристики этого "закона распределения вероятности"

æ = 1,0055;

u_æ = 2,6 10^-3.

В рассматриваемом примере температурная по­правка может быть сконст­руирована и как аддитив­ная

Графическое изображение ситуационной модели в этом случае показано на рис. 18, б, а ее числовые характеристики равны:

= 0,0056 X;

2,6 • X • 10^-3.

Использование ситуационной модели является искусственным ма­тематическим приемом, позволяющим учесть дефицит информации о значении коэффициента линейного расширения . Проведя соответствую­щие исследования и установив значение , можно уточнить поправку, которая на самом деле является неслучайной и изображается точкой на числовой оси.

2.3.4. ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ОШИБОК

Надежность эргономической системы, в которую входят человек, окружающая среда, объект измерений и срёдства измерений, не безгранична. В ней могут происходить сбои, отка­зы аппаратуры, скачки напряжения в сети питания, сейсми­ческие сотрясения, отвлечение внимания оператора, описки в записях и многое другое, не имеющее отношения к измере­ниям. В результате появляются ошибки, вероятность кото­рых, как следует из теории надежности больших систем, не так уж мала.

При однократном измерении ошибка может быть обна­ружена только путем логического анализа или сопоставления результата с априорным представлением о нем. Установив и устранив причину ошибки, измерение можно повторить.

При многократном измерении одной и той же величины постоянного размера ошибки проявляются в том, что резуль­таты отдельных измерений заметно отличаются от осталь­ных. Иногда это отличие настолько большое, что ошибка очевидна. Остается понять и устранить ее причину или просто отбросить этот результат как заведомо неверный. Если отли­чие незначительное, то оно может быть следствием, как ошибки, так и рассеяния отсчета, а, следовательно, показания и результата измерения, которые согласно основному посту­лату метрологии являются случайными. Нужно поэтому иметь какое-то правило, руководствуясь которым принимать реше­ния в сомнительных случаях.

После того, как все влияющие факторы учтены, и все поп­равки в показания внесены, рассеяние результата измерения одной и той же физической величины постоянного размера нередко бывает следствием множества причин, вклад каж­дой из которых незначителен по сравнению с суммарным дей­ствием всех остальных. Центральная предельная теорема те­ории вероятности утверждает, что результат измерения при этом подчиняется так называемому нормальному закону, кри­вые плотности распределения вероятности которого

,

при различных значениях дисперсии показаны на рис. 9. Интег­ральная функция нормального закона распределения

.

Если условия центральной предельной теоремы выполня­ются, то весь массив экспериментальных данных при много­кратном измерении одной и той же величины постоянного раз­мера должен группироваться около среднего значения Q, и выпадение какого-нибудь отдельного значения результата из­мерения из этого массива позволяет предположить, что он ошибочный. Найдем вероятность, с которой любое значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, должно находиться в пределах от Q₁ до Q₂

-

Интегралы в этом выражении не могут быть выражены через элементарные функции. Более того, для интегральной функ­ции нормального закона распределения вероятности нет ни таблиц, ни графиков, так как с их помощью невозможно охватить все многообразие возможных значений и , Произведем поэтому замену переменной:

; ; .

Учитывая, что после такой замены d Q = dz, получим

-

Теперь интересующая нас вероятность выражена через раз­ность значений интегральной функции, соответствующей плот­ности распределения вероятности

P(z) = ,

характеризующей так называемый нормированный нормальный закон. Дифференциальная и интегральная функции его показаны на рис. 19, а числовые характеристики

Из рис. 19, б видно, что

.

Эта функция, связанная с интегралом вероятности — функци­ей Лапласа (см. рис. 20)

соотношением

F_(z)= + L_(z) ,

табулирована в диапазоне значений z от 0 до 3,3, за предела­ми которого в сторону больших z практически неотличима от 1. Если выбрать z₂= — z₁ и обозначить эту величину че­рез t, что будет соответствовать, как это показано на рис. 21, выбору границ интервала [Q₁; Q₂], равноотстоящих от среднего значения Q на ± t _Q, т.е.

Q₁= - t _Q;

Q₂= + t _Q;

то окончательно получим:

=2F(t)-1 = 2L(t) (9)

По табличным значениям функций, входящих в это урав­нение, построена верхняя кривая на рис. 22. Параметр t играет в метрологии важную роль. Он показывает, на сколько c заданной вероятностью может отличаться отдельное значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, от своего среднего значения. Так, например, из графика на рис, 22 видно, что

с Р = 0,5 на ± ;

с Р= 0,68 на ± ;

с Р= 0.95 на ± 2 ;

с Р= 0,99 на ± 2,6 ;

с Р= 0,997 на ± 3 .

Эта вероятность называется доверительной, интервал [ ] — доверительным интервалом, а его границы Q₁ и Q₂ — доверительными границами. Из графика следует, что доверительный интервал зависит от доверительной вероят­ности. С очень высокой вероятностью 0,997 все значения ре­зультата измерения, подчиняющегося нормальному закону, должны группироваться в пределах доверительного интер­вала Q ± 3 . На этом основании можно сформулировать следующее правило: если при многократном измерении од­ной и той же физической величины постоянного размера

сомнительное значение результата измерения отличается от среднего значения больше чем на 3 , то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и его следует отбросить.

Это правило называется "правилом трех сигм".

Пример 13. Одной из причин рассеяния результатов радиотехни­ческих измерений служит "шум" первых каскадов усиления в из­мерительных преобразователях. Напряжение "шума" является слу­чайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распреде­ления вероятности с нулевым средним значением и дисперсией, рав­ной мощности "шума", выделяемой на сопротивлении 1 Ом.

Определить, не содержится ли ошибок в следующих эксперимен­тальных данных, полученных при измерении мгновенного значения шумового напряжения в отсутствии полезного сигнала (мили – 10^-3): — 4,2 мВ; 0,3 мВ; 5,7 мВ; -1,6 мВ; - 7,2 мВ; 3,9 мВ; 2,2мВ; - 0,1 мВ; 1,4 мВ, если мощность "шума",выделяемая на нагрузке 1 Ом, равна - 4мкВт.

Решение. Среднее квадратическое отклонение мгновенного значе­ния шумового напряжения составляет 2 мВ. По "правилу трех сигм", следовательно, нужно признать, что в пятом случае допущена какая-то ошибка. Можно, конечно, принимать решения и с меньшей вероят­ностью. В рассмотренном примере с вероятностью 0,99, нап­ример, допущена ошибка и в третьем случае. На практике, од­нако, преимущественное распространение получило "правило трех сигм". Условием его применения служит уверенность в том, что результат измерения подчиняется нормальному за­кону распределения вероятности. Если такой уверенности нет, то указанное обстоятельство следует проверить. Так как ошибка искажает закон распределения вероятности результа­та измерения, то проверка его нормальности производится после исключения ошибки. Как это делается подробно рас­смотрено в следующих разделах.

В некоторых случаях известно заранее, что результат из­мерения подчиняется равномерному закону распределения вероятности. Например, из-за люфтов и трения в опорах под­вижной части измерительного механизма он с равной вероят­ностью может отличаться от среднего значения на любую ве­личину в пределах общего люфта. Последний обычно извес­тен, так что появление больших отклонений может быть следствием только ошибок. Без дополнительной проверки они должны быть отброшены.

2.4. ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Измерение состоит в получении информации о значе­нии измеряемой величины. Означает ли это, что до измере­ния об этой величине ничего не известно?

Нет, не означает. Напротив, для того, чтобы провести измерение, нужно уже знать достаточно много. В первую оче­редь нужно хорошо себе представлять объект исследования. Внутренний диаметр полого шара не измерить ни обычной линейкой, ни микрометром. Для измерения расстояний меж­ду атомами в кристалле не годятся ни концевые, ни штрихо­вые меры длины. Некоторые измерительные задачи вообще бессмысленно ставить. Нельзя, например, измерить ни цвет, ни вкус, ни запах электрона. Нужно знать размерность изме­ряемой величины. В противном случае будет не ясно, с чем сравнивать ее размер: с метром? килограммом? секундой или другой единицей? Нужно иметь хотя бы ориентировочное представление и о ее размере; температуру в доменной пе­чи не измерить уличным термометром; отсутствие представ­ления о силе электрического тока при грозовом разряде обер­нулось для Г.В. Рихмана трагедией. При постановке любых измерительных задач важно установить (а затем исключить, компенсировать, или как-то учесть) факторы, влияющие на результат измерения.

Информация, которой располагают до измерения, назы­вается априорной. Она всегда есть. Если об измеряемой ве­личине мы ничего не знаем, то ничего и не узнаем. С другой стороны, если об измеряемой величине известно все, то изме­рение не нужно. Необходимость измерения обусловлена де­фицитом информации о количественной характеристике из­меряемой величины.

Обязательное использование при измерении априорной информации можно рассматривать как второй постулат метрологии.

Наличие априорной информации о размере измеряемой величины выражается в том, что он не может быть любым в пределах от — до + . Всегда можно указать некоторые пределы, в которых находится значение измеряемой величи­ны, пусть даже очень грубо, сугубо ориентировочно. Если нельзя сказать, что в этих пределах какие-то значения изме­ряемой величины более вероятны, чем другие, то остается принять, что с одинаковой вероятностью измеряемая величина может иметь любое значение от Q₁ до О₂, т.е. воспользовать­ся ситуационной моделью

,

представленной графически на рис. 23. Дефицит информации о количественной характеристике измеряемой величины

Рис. 23. Априорная р_о (Q) и апостериорная P(Q) плотности распределения вероятности значения измеряемой величины

состоит в неопределенности ее значения на интервале [Q₁; Q₂ ]. Мера этой неопределенности — энтропия

H_o(Q) = .

Таким образом, дефицит информации о значении измеря­емой величины перед измерением составляет

H_o(Q) = .

Рассмотрим теперь ситуацию, складывающуюся после выполнения измерения. Результат измерения является слу­чайным значением измеряемой величины. Если влияние пос­тоянно действующих и закономерно изменяющихся во вре­мени факторов компенсировано поправками, а ошибки исключены, то отдельные значения результата измерения являются либо завышенными, либо заниженными по чисто случайным причинам:

Q₁ = Q+ ;

Q₂ = Q+ ;

…………….

Q_i = Q+ ;

…………….

Q_n = Q+ ,

где случайное отклонение принимает значения, разные по абсолютной _величине и знаку. Среднее значение случайного отклонения равно нулю. Поэтому

=Q.

Таким образом, (см. рис. 24) значение измеряемой величи­ны равно среднему значению результата измерения. Несмещен­ность среднего значения результата измерения относительно значения измеряемой величины обеспечивает правильност ь измерения.

Однако на практике вычислить среднее значение резуль­тата измерения невозможно, так как при конечном объеме экспериментальных данных невозможно интегрирование в бесконечных пределах. Невозможно, следовательно, уста­новить и значение измеряемой величины. На практике исхо­дят из того, что никакое значение результата измерения с выбранной доверительной вероятностью не может отличать­ся от среднего значения больше, чем на половину довери­тельного интервала. Поэтому среднее значение результата из­мерения , а следовательно, и значение измеряемой величи­ны Q с такой же вероятностью не отличаются от любого зна­чения Q_i больше, чем на половину доверительного интервала — рис. 25. Это позволяет после выполнения измерения уста­новить интервал [Q₃; Q₄], в котором с выбранной вероят­ностью находится значение Q.

Ничего определенного относительно того, чему равно Q в пределах установленного интервала, сказать нельзя. Можно поэтому принять, что на этом интервале любые зна­чения Q равновероятны, т.е. опять-таки воспользоваться ситуационной моделью

показанной на рис. 23. Всё значение измерения заключа­ется в том, что интервал [Q₃; Q₄J меньше интервала [Q₁; О₂], в котором, как было установлено на основе анализа априорной информации, находится значение изме­ряемой величины. Таким образом, можно сказать, что измерение состоит в уточнении значения измеряемой ве­личины. Однако точное значение остается неизвестным и после измерения. Остаточная неопределенность составляет

то есть после измерения дефицит информации о значении измеряемой величины уменьшается на

Эта величина интерпретируется как количество информа­ции, получаемой в результате измерения, а протяженность интервалов [Q₁; Q₂] и [Q₃; Q₄] характеризует точность, с которой известно значение физической величны до и после её измерения.

По ширине доверительного интервала, в котором с выбранной доверительной вероятностью устанавливается значение измеряемой величины, измерения делятся на из­мерения низкой, высокой, высшей и наивысшей точнос­ти (см. рис. 26). Технические средства, обеспечивающие высший и наивысший уровни точности, для практических измерений не используются. Подробно они рассматрива­ется в разд. 3. Средства измерении могут быть высокой и низкой точности, хотя такая градация весьма условна: отдельные уникальные средства измерений могут достигать наивысшего уровня точности. Кроме того, нужно иметь ввиду, что точность измерений определяется не только точностью средств измерений, но и многими другими факторами, рассмотренными в разд. 2. 3. Предельно дости­жимой точности измерений посвящена гл. 8.