Основы теории измерений

2.1. ОСНОВНОЙ ПОСТУЛАТ МЕТРОЛОГИИ

Любое измерение по шкале отношений предполагает срав­нение неизвестного размера с известным и выражение первого через второй в кратном или дольном отношении. При измерении физических величин в качестве известного размера естест­венно выбрать единицу СИ. Тогда процедура сравнения неиз­вестного значения с известным и выражения первого через второе в кратном или дольном отношении запишется следующимобразом: Q/[Q]. В квалиметрии сравнение производит­сяобычносо значением базового показателя качества или с представлением о наивысшем качестве, которое оценивается максимальным количеством баллов.

На практике непосредственно неизвестный размер не всег­да может быть представлен для сравнения с единицей. Жидкос­ти,например, и сыпучие вещества предъявляются на взвешива­ниев таре.Очень маленькие линейные размеры могут быть измерены только после увеличения их микроскопом или дру­гим прибором. В первом случае процедура сравнения выглядит как определение отношения , во втором — ,

где: в рассматриваемыx примерах J – масса тары, а c – коэффициент увеличения. Само сравнение в свою оче­редь происходит под влиянием множества случайных и неслу­чайных, аддитивных (от латинского additivus – прибавляемый) и мультипликативных (от латинского multiplico – умножаю) факторов, точный учет которых невозможен, а резуль­тат совместного воздействия непредсказуем. Ограничиваясь для простоты аддитивными воздействиями, совместное влия­ние которых можно учесть случайным слагаемым η, получим следующее уравнение измерения по шкале отношений:

(2)

Оно выражает некоторое действие, процедуру сравнения в реальных условиях, которая, собственно, и является измере­нием. Главной особенностью измерительной процедуры является то, что при ее повторении из-за случайного характера ή от­счет по шкале отношений х получается все время разным. Это фундаментальное положение является законом природы. На основании громадного опыта практических измерений, накоп­ленного к настоящему времени, может быть сформулирова­но следующее утверждение, называемое основным постулатом метрологии: отсчет является случайнымчислом. На этом постулате, который легко поддается проверке и остается спра­ведливым в любых областях и видах измерений, основана вся метрология.

Уравнение (2) является математической моделью измерения по шкале отношений. Отсчет в ней не может быть представлен одним числом. Его можно лишь описать словами или математическими символами, представить массивом эк­спериментальных данных, таблично, графически, аналитичес­ким выражением и т.п. Проиллюстрируем это двумя приме­рами.

Пример 3. При п— кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера на световом табло цифрово­го измерительного прибора в случайном порядке появлялись числа х_i, представленные в первой графе табл. 5.

Таблица 5

Xi	Mj	Р (Xi)	F (Xi)
90,10		1/100 = 0,01	0,01
90,11		2/100 = 0,02	0,01+0,02=0,03
90,12		5/100 = 0,05	0,03+0,05=0,08
90,13		10/100= 0,10	0,08+0,1=0,18
90,14		20/100= 0,20	0,18+0,2 =0,38
90,!5		24/100= 0,24	0,38+0,24=0,62
90,16		19/100= 0,19	0,62+0,19=0,81
90,17		11/100= 0,11	0,81+0,11=0,92
90,18		5/100 = 0,05	0,92+0,05=0,97
90,19		2/100 = 0,02	0,97+0,02=0,99
90,20		1/100 = 0,01	0,99+0,01=1,00

Каждое i-e число появилось M_i, раз. Что представляет собой отсчет при та­ком измерении?

Решение. Ни одно из чисел в первой графе таблицы, взятое в отдель­ности, не является отсчетом. Отсчет характеризуется всей совокупностью этих чисел с учетом того, как часто они появлялись. Принимая частоту встречаемости (M_i/n) каждого i-го числа за вероятность его появления P(x_i), заполним третью графу в табл. 5. В совокупности с первой она даст нам распреде­ление вероятности отсчета, представленное таблично. Его же можно представить графически так, как это показано на рис. 4. А можно пос­тупить и по другому. Проставим в четвертой графе табл. 5 вероятности того, что на табло показывающего измерительного прибора появится число, меньшее или равное тому, которое значится в первой графе. В совокупности с первой графой это даст нам представленную таблично функцию распределения вероятности отсчета. Графически она выглядит так, как это показано на рис. 5.

Как распределение вероятности Р(х_i), так и функция распределения вероятности F (х_i) являются исчерпывающим описанием отсчета у цифровых измерительных приборов лю­бой конструкции.

Пример 4. При n-кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера аналоговым измери­тельным прибором указатель отсчетного устройства в случайной пос­ледовательности по m раз останавливался на каждом из делений шка­лы:

Деление шкалы m

0,10…0,11 1

0,11…0,12 2

0,12... 0,13 6

0,13... 0,14 11

0,14... 0,15 19

0,15... 0,16 23

0,16... 0,17 20 0,17... 0,18 10

0,18…0,19 5 0,19... 0,20 3

Что представляет собой отсчет при таком измерении?

Решение. Принимая деления шкалы за основания, построим нанихпрямоугольники с высотами, равными отношению частостей к цене деления шкалы (в данном случае безразмерной). Получившаяся фи­гура, показанная на рис. 6, а, называется гистограммой (от греческого «гистос» – ткань, строение). Соединив теперь отрезками прямых середины верхних сторон прямоугольников, как это показано на рисунке, получим ломаную линию, называемую полигоном (от греческого слова - многоугольник).

Как гистограмма, так и полигон являются исчерпываю­щим эмпирическим описанием отсчета у аналоговых измери­тельных приборов любой конструкции.

Если бы была возможность увеличивать n, то в пределе при и полигон перешел бы в кривую плотности распределения вероят­ности отсчета P _(х), показанную на рис. 6, б.

Здесь так же, как в примере 3, можно поступить по-другому. Под­считывая, сколько раз указатель отсчетного устройства останавливался левее каждой отметки шкалы, откладывая над этой отметкой вдоль оси ординат отношение числа таких отклоненийк их общему числу п и сое­диняя полученные точки отрезками прямых, мы получим ломаную ли­нию, показанную на рис. 7, а, и называемую кумулятивной кривой. Как гистограмма и полигон, она исчерпывающе характеризует отсчет у аналоговых измерительных приборов. Если бы опять-таки была возможно­сть увеличивать п, то при и кумулятивная кривая перешла бы в график функции распределения вероятности отсчета F (х), показан­ный на рис. 7, б.

Плотность распределения вероятности р(х) и функция распределения вероятности F(х) служат в теории вероятности моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных методами математической ста­тистики.

После выполнения измерительной процедуры в уравнении (2) остаются два неизвестных; Q и . Неслучайное значение либо должно быть известно до измерения, либо устанавли­вается посредством дополнительных исследований. Слагаемое , являющееся случайным, не может быть известно в принци­пе. Поэтому определить значение измеряемой величины

(3)

невозможно.

Равенство (3) соблюдается точно, благодаря тому, что при повторных выполнениях измерительной процедуры случайное изменение второго слагаемого в правой части всякий раз вле­чет за собой точно такое же изменение первого. О таких сла­гаемых говорят, что они коррелированны (взаимосвязаны) между собой. Разность между коррелированными значениями двух случайных величин неслучайна, но в данном случае неизвестна. Поэтому строгого решения уравнение (3) не имеет.

На практике удовлетворяются приближенным решением. Для этого используются результаты специального исследова­ния, называемого метрологической аттестацией средства из­мерений и методики выполнения измерений. В ходе этого исследования приближенно определяетсясреднее значение вто­рого слагаемого в правой части формулы (3):

.

Среднее значение не является случайным. Поэтому, после за­мены случайного второго слагаемого в правой части уравне­ния (3) неслучайным значением Н, получается приближенное решение

, (4)

в котором результат измерения Q является случайным зна­чением измеряемой величины.

Первое слагаемое в правой части выражения (4) называ­ется показанием

Х=х [Q].

Оно подчиняется тому же закону распределения вероятности, что и отсчет, но отличается от последнего тем, что

dim x = dim q.

Два последних слагаемых в правой части формулы (4) представляют суммарную поправку

,

которая может включать и большее количество составляющих в зависимости от числа учитываемых факторов. Поправка не является случайной, но может изменяться от измерения к из­мерению по определенному закону. Поэтому в каждое отдель­ное значение показания X_i может вноситься своя поправка _i.

Результат измерения Q подчиняется тому же закону рас­пределения вероятности, что показание и отсчет, но смещен­ному по оси абсцисс на значение суммарной поправки. Отдель­ное его значение

(5)

получаемое всякий раз после выполнения измерительной про­цедуры, называется результатом однократного измерения. Среднее арифметическое значение результата измерения, полученное при многократном независимом измерении одной и той же величины постоянного размера.

(6)

называется результатом многократного измерения.

Уравнение измерения интервала записывается аналогично уравнению (2):

где — значение разности между двумя размерами физи­ческой величины. Анализ этого уравнения не отличается от анализа уравнения (2).

Математической моделью измерения по шкале порядка служит неравенство

, (8)

описывающее процедуру сравнения двух размеров одной и той же измеряемой величины. Результатом сравнения в этом случае является не отсчет, а решение о том, какой из размеров" больше, либо они одинаковы. Не исключена воз­можность как правильных, так и неправильных решений. Следовательно, результат сравнения двух размеров по шка­ле порядка является случайным, что соответствует основ­ному постулату метрологии.

Измерения по шкале порядка широко применяются при контроле, когда в условиях случайных возмущений проверя­емый размер Q₁ сравнивается с контрольным (пороговым) Q₂. Особое место занимает сравнение с Q₂ = 0, относящееся к теории обнаружения.

2.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ИИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Математический аппарат теории вероятности широко ис­пользуется в метрологии. Рассмотрим поэтому некоторые свойства законов распределения вероятности, являющихся моделями эмпирических законов распределения, получае­мых из экспериментальных данных методами математи­ческой статистики.

1. Прежде всего, отметим, что функция F_(х) определя­ет вероятность того, что отдельный результат, полученный по формуле (2) или (7), будет меньше ее аргумента.

2. Так как вероятность не может быть отрицательной, то

F (х) 0.

Чем больше х, тем больше вероятность того, что ни один результат, полученный по формуле (2) или (7), не превы­сит этого значения, т.е. F (х) — неубывающая функция:

F (х₂) > F (х₁), если Х₂> Х₁.

При изменении х от до F(х ) меняется от 0 до 1.

3. Результат, полученный по формуле (2) или (7), мень­ше некоторого X₁ с вероятностью F (х₁) и меньше другого X₂ > X₁ с вероятностью F (х₂). Следовательно, вероятность того, что результат сравнения по формуле (2) или (7) окажет­ся в интервале [X₁; X₂], равна разности значений F(x) на границах этого интервала:

Р {х₁ х х₂} =F (x₂)- F (x₁).

У аналогового измерительного прибора х₁ и х₂ можно выбирать сколь угодно близкими друг к другу. При х₁ х₂ F (x₂) - F (x₁) 0. Поэтому у аналоговых измерительных приборов вероятность того, что указатель отсчетного уст­ройства остановится на какой-либо конкретной точке шкалы, равна 0. Отсюда следует, что

= = = ,

т.е. крайние точки можно включать, а можно и не включать в интервал.

4. Плотность распределения вероятности р(х) связана с функцией распределения вероятности F (х) соотношением

Р (x)=F' (х).

Поэтому р(х) называют иногда дифференциальной функцией распределения вероятности.

В свою очередь F(х) может быть получена интегрирова­нием р(х) в соответствующих пределах:

F (х_о) = ,

Геометрическая интерпретация этой операции показана на рис. 8. А F (х₀) иногда называют интегральной функцией распределения вероятности.

P(x)

Рис. 8. Дифференциальная функция распределения вероятности.

5. Так как F (х) неубывающая функция, то ее производ­ная не может быть отрицательной: p(x) 0.

6. Вероятность того, что отдельный результат, получен­ный по формуле (2) или (7), окажется в интервале [x₁; x₂], равна площади, ограниченной графиком функции p(x),осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах интерва­ла (см. рис. 8).

7. При расширении интервала до бесконечности рассматри­ваемое событие становится достоверным. Поэтому площадь, ограниченная графиком функции р(х) и осью абсцисс, равна 1:

Описание отсчета или результата измерения с помощью законов распределения вероятности является наиболее пол­ным, но неудобным. Во многих случаях ограничиваются приб­лиженным описанием закона распределения вероятности с помощью его числовых характеристик, или моментов. Все они представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала коор­динат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения — центральными.

Общее правило образования начальных моментов:

,

где г — номер момента. Важнейшим начальным моментом является первый — среднее значение:

,

характеризующее математическое ожидание отсчета при бес­конечном повторении процедуры измерения по формулам (2) или (7). Иногда математическое ожидание удобнее обоз­начать символом М(х). Свойства математического ожида­ния:

1) математическое ожидание неслучайного числа равно самому этому числу:

М(а) = а;

2) постоянный множитель можно выносить за знак мате­матического ожидания:

М (ах) = а М (х), где а = const;

3) математическое ожидание алгебраической суммы слу­чайных чисел равно алгебраической сумме их математических ожиданий'

М(х +у - г) =М(х) +М(y) -М(г);

4) математическое ожидание произведения независимых случайных чисел равно произведению их математических ожи­даний:

М(х у г) = М(х) М(у) М(г);

5) математическое ожидание отклонения случайного чис­ла от его математического ожидания равно нулю:

М[х - М(х)] = 0.

Мерой рассеяния отдельных результатов, полученных по формуле (2) или (7), около их среднего значения служит второй центральный момент. Общее правило образования центральных моментов записывается следующим образом:

,

откуда сразу видно, что первый центральный момент тождес­твенно равен нулю:

=

= = 0.

Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается :

.

Иногда дисперсию удобнее обозначать символом D(х). Свой­ства дисперсии:

1) дисперсия неслучайного числа равна нулю:

D(а) = 0;

2) постоянный множитель можно выносить за знак дис­персии, возводя его при этом в квадрат:

D(ах) = а²D(х), где а = const;

3) дисперсия алгебраической суммы двух случайных чи­сел равна:

,

где коэффициент корреляции

4) дисперсия алгебраической суммы независимых случай­ных чисел равна арифметической суммеих дисперсий:

D(x+y-z) = D(x)+D(y)-D(z),

5) дисперсия случайного числа равна разности между математическим ожиданием его квадрата, и квадратом мате­матического ожидания:

D(x) = M(x²) – M²(x).

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние резуль­татов, полученных по формулам (2) и (7) относительно . Это наглядно видно на рис. 9, где представлены кривые плотности одного и того же закона распределения вероят­ности отсчета при различных дисперсиях.