Частные случаи загрузки упругого полупространства

а) Равномерная загрузка по площади круга. Имея реше­ние для сосредоточенной силы, действующей на плоскую грань упругого полупростран­ства, найдем перемещения и напряжения, возникающие под действием распределенной нагрузки, если применим прин­цип сложения действия сил. Пусть нагрузка общим ве­сом Р равномерно распреде­лена на "дневной" поверхности полубесконечного тела по площади круга радиуса а. Ин­тенсивность нагрузки

.

Составим выражения для перемещения точки С, нахо­дящейся на "дневной" поверх­ности, но в пределах загру­женного круга (рис. 24).

Проведем через точку С секущую МС, а в бесконечной близости другую – М₁С и рассмотрим влияние на "прогиб" точки С нагрузки, расположенной на элементарной площадке, заштрихованной на рис. 24. Эта площадка равна dF=sdjds, а нагрузка, на нее приходящаяся,

dP = qdF = qsdjds. (2.46)

От такой нагрузки точка С должна опуститься согласно (2.45) на

и тогда получим

.

Полное перемещение точки С от всей нагрузки

.

Из рис. 24 ясно, что взятый по всей длине секущей интеграл

Рис. 24

. (2.47)

Тогда окончательно

.

Для “прогиба” в центре круга, т. е. при r = 0, имеем:

.

Таким образом, зная а, избавимся от бесконечности, полу­чаемой по формуле (2.45).

Для “прогиба” точек, лежащих на контуре загруженного круга, т. е. при r = а, получим:

.

Отношение перемещений двух характерных точек

Перемещение точек, лежащих внутри загруженного круга, но не в центре его, могут быть вычислены на основании (2.48) с помощью таблиц аллиптических интегралов.

б) Загрузка на площади круга по “полушару”. Рас­смотрим случай, когда на площади круга радиуса а расположена нагрузка в ви­де шапки (рис. 25) таким образом, что в любой точ­ке загруженной территории интенсивность нагрузки

Рис. 25

пропорциональна ординате полусферы, имеющей ра­диус а и основанием кото­рой служит упомянутая площадь круга. Иначе говоря, интенсив­ность нагрузки в любой точке согласно обозначе­ниям рис. 24 записывает­ся так:

;

здесь У_кр. - ордината круга, имеющего радиус a, k - коэффициент нагрузки, т. е.

,

a q₀ - наибольшая интенсивность нагрузки (т. е. в центре загруженной территории), причем q₀ может быть выражена через об­щий вес:

.

Для вычисления перемещения точки С, поступая анало­гично предыдущему примеру, имеем:

.

Выясним геометрический смысл последнего интеграла. Из рассмотрения рис. 25 следует, что

,

где Q - площадь эпюры нагрузки на длине . Но так как, рассекая сферу любой плоскостью, мы всегда в разрезе бу­дем получать круг, то и в данном случае, рассекая нагрузку, в общем изображаемую “полушаром”, мы всегда в разрезе должны получить “полукруг” (этой фи­гурой в разрезе будет полуэллипс). Таким образом, можем записать

,

где k - коэффициент, позволяющий перейти от геометриче­ского полукруга к “полукругу” в кавычках. Итак,

или, на основании (2.47),

.

Теперь для полного перемещения точки С имеем:

.

После интегрирования получаем:

, (2.49)

где обозначено

Если радиус изогнутой поверхности граничной плоскости будет велик по сравнению с радиусом загруженного круга, то выражение (2.49) можно практически считать уравнением некоторой сферической по­верхности.

в) Обратная задача. Очевидно, можно решать и обратные задачи, когда задано уравнение изогнутой "дневной" поверх­ности и требуется найти уравнение нагрузки, вызвавшей такую деформацию.

Возьмем, например, абсолютно жесткий штамп в виде круглого цилиндра, вдавливаемого в плоскую грань упругого полупространства. В этом случае перемещение w для всех точек будет по­стоянным по круглой подошве штампа; распределение дав­лений не будет постоянным и должно определяться в ре­зультате решения интегрального уравнения

Решение такого уравнения приводит к результату:

,

где Р - полная нагрузка на штамп, а - радиус штампа и r - радиус круга, на который действует давление q. Это рас­пределение неравномерно и наименьшее его значение в центре (r = 0), где

,

т. е. наименьшее давление равно половине среднего давле­ния по круговой площади подошвы штампа. На контуре этой площади (r = a) давление становится бесконечно большим.

Перемещение штампа выразится формулой

.

Если предположить, что края штам­па имеют некоторое закругление, как это показано на рис.26, то распределение напряжений у краев штампов может существенно измениться. Такая сложная контактная задача была поставлена И. Я. Штаерманом и при­вела к ответу, представленному графиком на рис. 26.

Рис. 26

В частности, это решение свободно от бесконечно больших напряжений, не имеющих реального значения. На указанном графике .