Деформация толстостенного сферического сосуда

При решении некоторых задач, когда многие компоненты напряжений и деформаций отсутствуют, можно не прибегать к общим уравнениям теории упругости (в пе­ремещениях или в напряжениях), которые должны значительно упроститься, а все три необходимые стороны исследования (геометрическую, физическую и статическую) выполнить непосредственно применительно к рассматривае­мому частному случаю.

Представим себе шаровой сосуд, подвергающийся дей­ствию внутреннего и внешнего равномерных давлений. Пусть а и b обозначают соответственно внутренний и наружный радиусы шара (рис. 21), а р_a и р_b -внутреннее и наруж­ное давления газов.

Рис. 21

Начнем со статического обследования. Выре­жем для исследования бесконечно малый элемент двумя па­рами взаимно перпендикулярных меридиональных сечений и двумя концентрическими сферическими поверхностями. Дей­ствие отброшенных частей сосуда заменим тангенци-альными ( s_t, s_z) и радиальными (s_r) напряжениями. Так как в рассма­триваемом случае напряжения зависят только от радиуса r, то напряжения по двум бесконечно близким друг к другу концентрическим поверхностям будут отличаться на величину и не будут зависеть от угла q - другого параметра, определяющего местоположение рассматриваемого элемента. Проектируя все силы на нор­маль к элементу, имеем уравнение равновесия в виде:

.

Имея в виду равенство s_t = s_z и производя сокращения, получаем уравнение равновесия:

. (2.27)

Переходим к геометрическому обследованию. Из рассмотрения перемещений и формоизменения элемента заключаем, что относительное тангенциальное удлинение:

, (2.28)

а относительное радиальное удлинение:

. (2.29)

Выполним физическое обследование. Зави­симость напряжений от дефор-маций в данном случае имеет вид:

Напряжения через деформации выражаются (принимая во внимание равенство e_t = e_z и s_t = s_z) так:

. (2.30)

Данные геометрического обследования используем для преобразования полученных физических зависимостей, т. е. подставляем (2.28) и (2.29) в (2.30). Имеем выражения для напряжений:

(2.31)

(2.32)

Выражения (2.31) и (3.32) подставляем в уравнение статики(12.27). Тогда после сокращений получаем выражение

, (2.33)

которое представляет собой уравнение, объединяющее в себе все три стороны исследования (геометрическую, физиче­скую и статическую).

Общий интеграл дифференциального уравнения (2.33) имеет вид

. (2.34)

Дифференцируя (2.34), находим

. (2.35)

Подставляя (2.34) и (2.35) в (2.31) и (2.32), получаем вместо диф­ференциальной формы выражения для напряжений в алгебраи­ческой форме:

(2.36)

. (2.37)

Постоянные интегрирования А и В определим из поверх­ностных условий:

.

Тогда, в силу (2.37), имеем:

откуда

(2.38)

Подставляя (2.38) в (2.36) и (2.37), окончательно получим:

Для случая одного внутреннего давления р_a наибольшее растягивающее тангенциальное напряжение будет на внут­ренней поверхности сосуда (при r = a):

а минимальное на наружной поверхности (при r = b):

.

Приведенное здесь решение задачи теории упругости получено применением метода переме­щений.