Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
, , являющейся правильной дробью (т.е. при ), производится путём представления этой функции в виде суммы простых дробей. Если же дробь является неправильной (), то её представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби, затем интегрируют эти слагаемые.
Пример 7. Найти интегралы: а) ; б) .
Решение. а)
Иногда вычисляют иначе
б)
.
Пример 8. Найти интегралы: а) ;
б) ; в) .
Решение. а) Найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей:
;
;
;
Таким образом,
.
б) .
Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей:
;
. (1)
x = 0; –8A = +5. Þ A = –5/8,
x = 2; 24B = 3. Þ B = 1/8.
Из равенства (1) следует (приравниваются коэффициенты при x3 и x):
Отсюда, зная уже A = –5/8, B = 1/8, находим C = 1/2, D = 7/4. Таким образом,
.
в) Рациональная функция представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть делением уголком
x4 – 3x2 + 2x +7 x3 – 2x2 + x
x4 – 2x3 + x2 x + 2
2x3 – 4x2 + 2x + 7
2x3 – 4x2+2x
Таким образом,
.
Разложим правильную дробь на сумму простых дробей:
;
; (2)
x = 0; A = 7;
x = 1; B2 = 7.
Сравнивая старшие коэффициенты в обеих частях равенства (2), находим A + B1 = 0, B1 = –A = –7. Таким образом,
.
7. Интегрирование тригонометрических функций
При интегрировании функций вида лучше придерживаться следующего правила: 1) если n нечётное положительное число, то делаем замену переменной если m – нечётное положительное число, то делаем замену переменной и это приведёт к интегралу от степенной функции; 2) если n и m – чётные числа, то с помощью формул , достигается упрощение вида подынтегральной функции.
Пример 9. Найти а) ; б) .
Решение. = = ;
б)
.
Интегрирование функций вида , , производится с помощью формул произведений синусов и косинусов.
Пример 10. Найти .
Решение.
.
Интегрирование функций вида R(sinx, cosx), где R – рациональная функция двух переменных, производится с помощью замены . При этом , , ,
.
Пример 11. Найти .
Решение. = =
.
8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы вида , где R – рациональная функция двух переменных, выделением полного квадрата приводятся к одному из следующих видов:
1) ; 2) ; 3) .
Эти последние интегралы находятся с помощью подстановок:
1) t = a tgu или t = a shu; 2) t = a/cosu или t = a chu;
3) t = a sinu или t = a thu.
Пример 12. Найти .
Решение. = =
=
.
Пример 13. Найти .
Решение. =
= .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 176 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!