Расчет пластин переменной толщины

С целью снижения материалоемкости круглые пластины часто изготавливают с переменной по радиусу толщиной. Для расчета таких пластин используют численный метод начальных параметров. При решении задачи будем определять в каждой точке пластины три основные величины - прогиб , угол поворота нормали , и произведение момента на текущий радиус. Составив матрицу- столбец из этих величин )T, назовем её вектором состояния. Действительно, три компоненты этого вектора определяют не только перемещения , , но и изгибающие моменты, а, следовательно, и напряжения. В самом деле, подставив во второе уравнение (16.6) из первого, вы разим через и :

Равенства (16.5), (16.6), (16.10) позволяют записать три дифференциальных уравнения первого порядка относительно компонент вектора состояния:

Первое из уравнений (16.11) совпадает с уравнением (16.10), второе есть разрешенное относительно первое из равенств (16.6), а третье - уравнение равновесия (16.5), в которое подставлено значение по формуле (16.11). Поскольку левые части уравнений (16.12) - производные компонент вектора со стояния, а правые части линейно зависят от этих компонент, систему уравнений (16.12) можно записать в виде одного матричного уравнения:

где матрица переменных коэффициентов F и вектор g выражаются формулами:

Решение системы уравнений (16.13) должно удовлетворять граничным условиям. Так как эта система третьего порядка, то число граничных условий равно трём. При этом на каждом из контуров пластины (внутреннем и внешнем) должно быть задано ограничение либо на угол поворота q, либо на соответствующий этому углу изгибающий момент , либо, при упругой заделке, граничное условие ставится на линейную комбинацию угла q и момента . Третьим граничным условием является условие на окружности, где расположена опора. В табл.16.1 приведены возможные варианты граничных условий (ось z направлена вниз).

Таблица 16.1

Для пластины без центрального отверстия граничное условие в центре

() имеет вид:

Однако при численном интегрировании это условие не используется, так как при некоторые коэффициенты системы (16.13) обращаются в бесконечность. В связи с этим начальное значение независимой переменной r принимают равным малому числу а (а - "разгонный участок" обычно равный шагу интегрирования), а граничное условие заменяют следующим:

где D - жесткость на изгиб в центре пластины.

Приведем краткий вывод условия (16.14). Вблизи центра пластины угол q пропорционально радиусу (последующие члены разложения q в степе нной ряд можно при малых r не учитывать). Поэтому при малых r имеем

,

и из первого уравнения (16.6) следует условие (16.14).

Таким образом, необходимо найти численное решение системы дифференциальных уравнений (16.13), удовлетворяющее граничным условиям, два из которых наложенные на q или , или на их комбинацию, формулируются на внутреннем и наружном контурах пластины, и одно, наложенное на прогиб - в месте ограничения прогиба.

Для решения этой краевой задачи используем метод начальных параметров [4], который позволяет наиболее простым способом свести краевую задачу к задаче Коши. Система уравнений (16.13) представляет собой систему линейных неоднородных (из-за наличия слагаемого с Q) дифференциальных уравнений третьего порядка. Известно, что решение такой системы складывается, вообще говоря, из трех линейно независимых () решений однородной системы и одного решения неоднородной системы. Неоднородное решен

ие удовлетворяет уравнению (16.13), а все однородные - уравнению

Если вычислить все решения по отдельности и, подчинив выражение

граничным условиям, определить постоянные , то задача будет решена.

Метод начальных параметров позволяет сократить количество вычисляемых решений однородной задачи. Действительно, так как, по крайней мере, одно граничное условие задано в начале интервала интегрирования (при или

- для пластинки без отверстия), то из трех постоянных независимыми оказываются лишь две, и решение, удовлетворяющее указанному граничному условию, можно представить в виде:

При этом начальные значения должны быть заданы так, чтобы граничное условие при выполнялось при любых и .

Дополнительное упрощение связано с тем, что одно из решений однородной задачи изгиба пластины очевидно - оно соответствует перемещению пластины как жесткой () при ,

Таким образом, окончательно

Рассмотрим теперь вопрос о выборе значений векторов , , обеспечивающих тождественное выполнение наложенных на q или граничных условий при :

1. Поворот (контур жестко заделан или пластина связана с жестким центром радиуса ). Условие выполняется, если принять

2. Момент (контур пластины свободен или шарнирно оперт), в этом случае

3. Внутренний контур () нагружен распределенным моментом :

4. Пластина без отверстия. На границе "разгонного участка" () принимают:

где - жесткость пластины в центре.

Постоянную интегрирования находят, подчиняя вектор решения на внешнем контуре ()

граничному условию, наложенному на угол поворота q или радиальный момент . Например, в случае свободного внешнего контура постоянная

определяется из следующего алгебраического уравнения:

(здесь первый из индексов указывает номер компоненты, второй-номер вектора).

Вычислив , определяют из граничного условия, наложенного на прогиб. Пусть на окружности радиуса прогиб равен нулю. Тогда справедливо следующее тождество:

или

где , -первые компоненты векторов решений и при .

Если закреплен внутренний контур пластины , то всегда .

После определения постоянных интегрирования , вектор состояния в произвольном сечении r вычисляют по формуле (16.15). Решения и можно находить либо последовательно - интегрированием уравнения (16.13), причем при определении следует положить , либо на ходить эти два решения параллельно интегрированием следующего дифференциального уравнения:

где - матрица частных решений; - матрица, первый столбец которой нулевой, а вторым столбцом является вектор g.

Заметим, что вектор частного решения - это второй столбец матрицы Y. Поэтому в программных обозначениях компоненты этого вектора имеют вторым индексом цифру 2 (т.е. ). В приведенной программе интегрируется матричное уравнение (16.16).

Описание программы. Для численного расчета пластины методом начальных параметров разработана программа, позволяющая рассчитывать пластину с одной кольцевой опорой при осесимметричной поперечной нагрузке.

При расчете пластина разбивается на участки. Участки отличаются друг от друга либо различным законом изменения толщины, либо различным законом изменения поперечной силы, либо и тем и другим.