Расчет пластин постоянной толщины

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной. На рис.16.22, а представлена пластина постоянной толщины h, нагруженная силами, симметрично расположенными относительно оси z. Деформации, перемещения и напряжения - также симметричны относительно оси z. Прогиб пластины обозначается через w, а угол поворота нормали - через q (рис.16.22, b). Напряженное состояние в пластине - плоское(рис.16.22, с).

В сечениях пластины действуют силовые факторы (рис.16.16, d): - поперечная сила [ Н / м ]; и - изгибающие моменты [ Н м / м ]. Внутренние силовые факторы являются величинами погонными, т. е. отнесенными к единице длины срединной поверхности. Моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение на стороне пластины , а , если она на внешнем контуре элемента направлена против оси z. Поперечную силу Q определяют из уравнения равновесия отсеченной цилиндрической поверхностью центральной части пластины (рис.16.22, а). Уравнение равновесия моментов, воздействующих на элемент пластины (16.22, d), имеет вид:

Моменты и выражаются через угол поворота нормали к срединной поверхности по формулам:

где

- жесткость пластины на изгиб, . При изменяющейся в зависимости от радиуса толщине пластины D - функция радиуса.

Рис.16.22. Круглая пластина, нагруженная симметричными силами

Радиальные и окружные напряжения, показанные на рис.16.22, с, по толщине пластины меняются по линейному закону:

Наибольшее напряжения имеют место при . Поэтому

Знаки соответствуют растянутой и сжатой стороне пластины.

Таким образом, для расчета пластины на прочность и жесткость необходимо знать зависимость угла поворота нормали пластины q от радиуса r.

Угол поворота нормали определяется путем интегрирования разрешающего

уравнения. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

где и - постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования и определяются из граничных условий, которые записываются для угла поворота нормали или радиальных моментов, по одному на каждом краю.

Ниже на рисунках приведены примеры определения поперечных сил Q (положительные направления Q показаны на рис. 16.22, а, d) и граничных условий. После того как функция q(r) (16.9) найдена, из выражений (16.5) определяются изгибающие моменты и , а прогиб w(r) определяется из выражения

Знак минус соответствует направлению отсчета w (оси z) вниз.

Уравнение равновесия

Граничные условия

Уравнение равновесия

Граничные условия

Пример 16.6. Кольцевая пластина с абсолютно жестким центром (рис.16.23), защемленная по внешнему контуру, загружена распределенными по длине нагрузками на радиусе b. Построить эпюры изгибающих моментов

и определить наибольшее эквивалентное напряжение по теории начала текучести Мора, найти прогиб при r = a. Вес жесткого центра не учитывать.

Решение. Исходные данные:

Рис.16.23. Кольцевая пластина постоянной толщины с жестким центром и эпюры Mt(r), Mr(r)

Интенсивность изгибающих моментов в радиальном и окружном сече ниях будем определять по формулам (16.5):

где - угол поворота нормали, определяемый выражением (16.8):

Здесь i - номер участка пластины.

Разделим пластину на два участка

Для участка 1

Из уравнения равновесия центральной части пластины (рис.16.19, b)

следует, что . В этом случае уравнение углов поворота нормали и ее производной принимают вид:

Для участка 2

Из уравнения равновесия части пластины (рис.16.23, c) найдем :

Уравнение углов поворота нормали запишется как интеграл с переменным верхним пределом

В интеграле (b) подынтегральное выражение представляем как функцию координаты х произвольного сечения, расположенного в пределах рассматриваемого участка. Замена обозначения r координаты произвольного сечения обозначением х целесообразна, потому что в противном случае буква r имела бы двоякое значение: верхний предел интегрирования r есть хотя и произвольная, но все же определенным образом фиксированная величина; в интегрируем ой функции абсцисса сечения х принимает все возможные значения в заданных пределах. Полученный таким образом интеграл (b), интегрируем в символьной форме

или после ручного упрощения (машинное упрощение - громоздкое) получаем

Тогда уравнение углов поворота нормали (b) принимает вид:

Это уравнение дифференцируем в символьной форме, для чего выделяем r и даем команду Symbolics - Variable - Differentiate:

Упрощаем полученное выражение вручную

В итоге для определения q2(r) и ее производной получаем систему уравнений

Постоянные , , , определяем из граничных условий:

1)
2)
3)
4)

Граничные условия дают:

1)
2)
3)

Так как при r = b = (b), то это выражение можно записать

в результате, получаем (ручное упрощение)

4)

Таким образом, используя граничные условия, получаем систему алгебраических уравнений (записано ниже, см. систему (e)) для определения постоянных интегрирования, которую решаем при помощи блока Given - Find.

Начальное приближение:

из выражения (d) видно, что и имеют вид

а из выражения (e) следует, что и

После нахождения значений постоянных выражения (а) и (с) представляем в следующем виде:

Составляем программный модуль для определения изгибающих моментов в радиальных сечениях, при помощи которого строим эпюры (рис.16.20).

Составляем программный модуль для построения эпюры изгибающих моментов (рис.16.20) в окружных сечениях пластины:

a. b.

Рис.16.20. Эпюры изгибающих моментов: a.- , b.- вдоль радиуса в

радиальных и окружных сечениях пластины

Определение прогиба пластины. Прогибы пластины на 1 и 2 участках находятся по формулам:

Постоянные и определяем из граничных условий

Используя эти условия, получаем

Обозначив

найдем

Составляем программный модуль для определения и построения эпюры прогибов (рис.16.21):

Рис.16.21. Эпюра прогибов w вдоль радиуса r

Определим численное значение прогиба пластины при r = a

Как видно из эпюр (рис.16.20), максимальные значения моментов, а

следовательно, и напряжений будут достигаться в сечениях . Вид напряженного состояния в точках A с координатами ,

показан на рис.16.19, где

Главные напряжения:

Наибольшее эквивалентное напряжение () по теории Мора