![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной. На рис.16.22, а представлена пластина постоянной толщины h, нагруженная силами, симметрично расположенными относительно оси z. Деформации, перемещения и напряжения - также симметричны относительно оси z. Прогиб пластины обозначается через w, а угол поворота нормали - через q (рис.16.22, b). Напряженное состояние в пластине - плоское(рис.16.22, с).
В сечениях пластины действуют силовые факторы (рис.16.16, d): - поперечная сила [ Н / м ];
и
- изгибающие моменты [ Н м / м ]. Внутренние силовые факторы являются величинами погонными, т. е. отнесенными к единице длины срединной поверхности. Моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение на стороне пластины
, а
, если она на внешнем контуре элемента направлена против оси z. Поперечную силу Q определяют из уравнения равновесия отсеченной цилиндрической поверхностью центральной части пластины (рис.16.22, а). Уравнение равновесия моментов, воздействующих на элемент пластины (16.22, d), имеет вид:
Моменты и
выражаются через угол поворота
нормали к срединной поверхности по формулам:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() |
где
- жесткость пластины на изгиб, . При изменяющейся в зависимости от радиуса толщине пластины D - функция радиуса.
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Рис.16.22. Круглая пластина, нагруженная симметричными силами
Радиальные и окружные
напряжения, показанные на рис.16.22, с, по толщине пластины меняются по линейному закону:
Наибольшее напряжения имеют место при . Поэтому
Знаки соответствуют растянутой и сжатой стороне пластины.
Таким образом, для расчета пластины на прочность и жесткость необходимо знать зависимость угла поворота нормали пластины q от радиуса r.
Угол поворота нормали определяется путем интегрирования разрешающего
уравнения. Общий интеграл этого уравнения имеет вид
где и
- постоянные интегрирования.
Постоянные интегрирования и
определяются из граничных условий, которые записываются для угла поворота нормали или радиальных моментов, по одному на каждом краю.
Ниже на рисунках приведены примеры определения поперечных сил Q (положительные направления Q показаны на рис. 16.22, а, d) и граничных условий. После того как функция q(r) (16.9) найдена, из выражений (16.5) определяются изгибающие моменты и
, а прогиб w(r) определяется из выражения
Знак минус соответствует направлению отсчета w (оси z) вниз.
![]() | ![]() | ![]() |
Уравнение равновесия
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Граничные условия
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Уравнение равновесия
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Граничные условия
Пример 16.6. Кольцевая пластина с абсолютно жестким центром (рис.16.23), защемленная по внешнему контуру, загружена распределенными по длине нагрузками на радиусе b. Построить эпюры изгибающих моментов
и определить наибольшее эквивалентное напряжение по теории начала текучести Мора, найти прогиб при r = a. Вес жесткого центра не учитывать.
Решение. Исходные данные:
Рис.16.23. Кольцевая пластина постоянной толщины с жестким центром и эпюры Mt(r), Mr(r)
Интенсивность изгибающих моментов в радиальном и окружном сече ниях будем определять по формулам (16.5):
где - угол поворота нормали, определяемый выражением (16.8):
Здесь i - номер участка пластины.
Разделим пластину на два участка
Для участка 1
Из уравнения равновесия центральной части пластины (рис.16.19, b)
следует, что
. В этом случае уравнение углов поворота нормали и ее производной принимают вид:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() |
Для участка 2
Из уравнения равновесия части пластины (рис.16.23, c) найдем :
Уравнение углов поворота нормали запишется как интеграл с переменным верхним пределом
В интеграле (b) подынтегральное выражение представляем как функцию координаты х произвольного сечения, расположенного в пределах рассматриваемого участка. Замена обозначения r координаты произвольного сечения обозначением х целесообразна, потому что в противном случае буква r имела бы двоякое значение: верхний предел интегрирования r есть хотя и произвольная, но все же определенным образом фиксированная величина; в интегрируем ой функции абсцисса сечения х принимает все возможные значения в заданных пределах. Полученный таким образом интеграл (b), интегрируем в символьной форме
или после ручного упрощения (машинное упрощение - громоздкое) получаем
Тогда уравнение углов поворота нормали (b) принимает вид:
Это уравнение дифференцируем в символьной форме, для чего выделяем r и даем команду Symbolics - Variable - Differentiate:
Упрощаем полученное выражение вручную
В итоге для определения q2(r) и ее производной получаем систему уравнений
![]() | ![]() | ![]() |
![]() |
Постоянные ,
,
,
определяем из граничных условий:
1) | ![]() | ![]() |
2) | ![]() | ![]() |
3) | ![]() | ![]() |
4) | ![]() | ![]() |
Граничные условия дают:
1) | ![]() |
2) | ![]() |
3) | ![]() |
Так как при r = b =
(b), то это выражение можно записать
в результате, получаем (ручное упрощение)
4)
Таким образом, используя граничные условия, получаем систему алгебраических уравнений (записано ниже, см. систему (e)) для определения постоянных интегрирования, которую решаем при помощи блока Given - Find.
Начальное приближение:
из выражения (d) видно, что и
имеют вид
а из выражения (e) следует, что и
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ||
![]() | ||
![]() |
После нахождения значений постоянных выражения (а) и (с) представляем в следующем виде:
![]() ![]() | ![]() |
Составляем программный модуль для определения изгибающих моментов в радиальных сечениях, при помощи которого строим эпюры (рис.16.20).
Составляем программный модуль для построения эпюры изгибающих моментов (рис.16.20) в окружных сечениях пластины:
a. b.
Рис.16.20. Эпюры изгибающих моментов: a.- , b.-
вдоль радиуса в
радиальных и окружных сечениях пластины
Определение прогиба пластины. Прогибы пластины на 1 и 2 участках находятся по формулам:
Постоянные и
определяем из граничных условий
Используя эти условия, получаем
Обозначив
найдем
Составляем программный модуль для определения и построения эпюры прогибов (рис.16.21):
Рис.16.21. Эпюра прогибов w вдоль радиуса r
Определим численное значение прогиба пластины при r = a
Как видно из эпюр (рис.16.20), максимальные значения моментов, а
следовательно, и напряжений будут достигаться в сечениях . Вид напряженного состояния в точках A с координатами
,
показан на рис.16.19, где
Главные напряжения:
Наибольшее эквивалентное напряжение () по теории Мора
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1683 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!