Задачи для самостоятельного решения. 21. Сколькими способами можно распределить между тремя людьми 3n различных предметов так, чтобы каждый получил предметов?

21. Сколькими способами можно распределить между тремя людьми 3n различных предметов так, чтобы каждый получил предметов?

22. Сколькими способами можно разложить т+п+р различных предметов на три группы так, чтобы в первой группе было т, вовторой п, и втретьей р предметов?

23. Сколькими способами можно разделить 12 различных марок между 3 мальчиками, если каждый берет по 4 марки?

24. Сколькими способами можно разделить 12 различных марок между 3 мальчиками, если один берет 6 марок, а остальные − по 3 марки?

Врассмотренных ранее примерах ящики были различимыми. Но это не всегда так. Рассмотрим некоторые примеры.

Задача. Из 60 различных белых грибов хотят сделать 4 связки по 15 грибов в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. На первый взгляд эта задача относится к разобранному выше типуи имеет ответ Но здесь есть одна тонкость. При разделе костей домино важно, кому из игроков достанется данный набор костей, а при составлении связок грибов порядок связок роли не играет − в кладовой все они будут висеть вместе. Поэтому ответ надо еще разделить на 4! − число перестановок связок между собой. Поэтому здесь ответ:

Вообще, если надо разделить тр различных предметов на т групп по р предметов в каждой группе, причем порядок групп не учитывается, то число способов раздела равно

Более общей является такая задача: п различных элементов надо распределить на т групп так, чтобы т групп содержали по р элементов, т групп содержали по р элементов,…, т групп содержали по р элементов ( и ).

Сколькими способами может быть произведен раздел, если

а) группы различимы; б) группы неразличимы, (например, предметы кладутся в одинаковые ящики, которые потом перемешиваются)?

В первом случае ответ имеет вид:

А во втором случае надо иметь в виду возможность перестановки групп, содержащих поровну элементов. Теперьуже ответ иной:

25. Даны 2п элементов. Рассматриваются всевозможные разбиения этих элементов на пары, причем разбиения, отличающиеся друг от друга только порядком элементов внутри пар и порядком расположения пар, считаются совпадающими. Сколько существует различных таких разбиений?

26. Сколькими способами можно из 30 рабочих создать 3 бригады по 10 человек в каждой бригаде?

27. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 6 бандеролей по 2 книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?