![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В алгебре довольно часто приходится возводить в степень двучлен (a+b). Недаром каждый школьник заучивает наизусть формулы квадрата и куба суммы двух чисел. Аналогичная формула, но уже для произвольного натурального числа п≥1 называютбиномом Ньютона, хотя и была известна задолго до того времени, когда жил Ньютон. Слово «бином» в переводе с латыни означает «двучлен».
Теорема 11. Для любого целого неотрицательного n справедливо тождество:
.
Левая часть равенства является произведением n одинаковых сомножителей: . Если раскрыть скобки, не приводя подобных и не группируя одинаковые сомножители в степени, получится сумма, в которой каждое слагаемое является произведением n переменных, по одной из каждого сомножителя. Например,
.
Каждое слагаемое в этой сумме имеет вид слова в алфавите { x,y }, в котором i –тую позицию занимает переменная, выбираемая из i –того сомножителя. Нетрудно видеть, что каждое слово длины n появится в этом выражении в точности один раз. После группировки сомножителей каждое слово, в котором буква x встречается k раз, превращается в слагаемое вида . Таких слов имеется ровно C
, поэтому после приведения подобных получается правая часть равенства.
Ранее были приведены следующие свойства биномиальных коэффициентов:
1) ; 4)
;
2) ; 5)
;
3) ; 6)
.
Особенно важным свойством является последнее. Оно позволяет с помощью одних только операций сложения найти все числа сочетаний из n элементов, если известны числа сочетаний из () элемента. Это же свойство лежит в основе построения таблицы биномиальных коэффициентов, называемой треугольником Паскаля.
Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике. Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный «Трактат об арифметическом треугольнике». Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года – даты выхода в свет трактата.
Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.
Изображен треугольник и на иллюстрации книги «Яшмовое зеркало четырех элементов» китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.
В треугольнике Паскаля биномиальные коэффициенты располагаются следующим образом:
C
.........
В этой бесконечной таблице строка с номером n (n =0,1,2,...) образована числами C , k пробегает все значения от 0 до n. При этом каждая следующая строчка сдвинута относительно предыдущей таким образом, что непосредственно над числом C
левее и правее его оказываются расположены числа
и
, сумма которых, по свойству 6), как раз и равна C
. Таким образом, если строка с номером (
) заполнена, то легко заполняется строка с номером n: первый и последний элементы всегда равны 1, а каждый из остальных получается сложением двух расположенных над ним элементов предыдущей строки.
В треугольнике Паскаля прослеживаются следующие закономерности.
1. Члены всякой строки треугольника Паскаля сначала возрастают (до середины строки), а затем − убывают.
Например, 1<4<6, 6>4>1 (четвертая строка); 1<5<10, 10>5>1 (пятая строка).
2. Всякая строка треугольника Паскаля симметрична относительно своей середины (то есть члены всякой строки треугольника Паскаля, равноудаленные от ее краев, равны между собой).
Формально это свойство записывается в виде упоминавшегося нами равенства
.
3. Сумма членов n -й строки треугольника Паскаля равна 2 .
То есть . Это можно рассматривать как следствие формулы бинома Ньютона, если положить
. Важно, однако, разобраться в теоретико-множественной интерпретации данного свойства. Число
равно количеству m -элементных подмножеств n- элементного множества. Поэтому левую часть формулы бинома Ньютона можно рассматривать как число всех подмножеств n- элементного множества (включая пустое подмножество и само n -элементное множество).
4. Всякое непустое множество имеет столько подмножеств с четным числом элементов, сколько и подмножеств с нечетным числом элементов; иными словами, при n ≤1
C + C
+ C
+ …=C
+ C
+ C
+ …
Данное соотношение получается применением формулы бинома Ньютона к левой части тождества (1 – 1)п=0.
С помощью утверждения 3 можно конкретизировать:
C + C
+ C
+ … = C
+ C
+ C
+ …=2
.
Приведем комбинаторное доказательство этого утверждения.
С каждым подмножеством X данного непустого множества
А = {а1, а2,..., ап} свяжем подмножество Y, определяемое следующим образом: Y получается из X путем исключения или, наоборот, путем добавления к нему элемента аi в зависимости от того, содержит X элемент аi или не содержит.
Все подмножества множества А можно таким образом разбить на пары подмножеств (X, У), причем в каждой такой паре одно из подмножеств содержит четное, а другое – нечетное число элементов. Следовательно, подмножеств с четным числом элементов столько же, сколько и подмножеств с нечетным числом элементов.
5. Крайние члены треугольника Паскаля равны 1. Каждый же из остальных членов равен сумме двух смежных с ним членов, стоящих в предыдущей строке.
Например (см. строку с номером п =4),
4=1 + 3; 6=3 + 3; 4=3 + 1.
В общем случае (при 1≤m≤п) C =C
+ C
.
Последняя формула интересна и тем, что несет в себе правило построения каждой последующей строки треугольника Паскаля по предыдущей строке.
Доказать это равенство можно непосредственными вычислениями с помощью формулы
.
Однако гораздо интересней обратиться к ее комбинаторной трактовке: тех сочетаний из элементов { а1, а2,..., ап, an+1} по т, которые не содержат ап+1, будет, очевидно, С ; тех же сочетаний, которые содержат an+1, будет C
.
6. .
Это получается при
.
7. .
Получается применением формул и
.
Рассмотрим примеры использования формулы бинома.
Пример. Разложить по формуле бинома Ньютона двучлен
Решение.
Пример. Разложить по формуле бинома Ньютона двучлен
Решение.
Пример. Запишите формулу Бинома Ньютона для (х–2у) .
=
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 558 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!