Понятие факториала

Название «факториал» происходит от слова «factor» − «множитель». Термин «factorielle» ввёл французский математик Луи Арбогаст (1759–1803) в 1800 году.[13]

Факториал – это функция, определённая на множестве целых неотрицательных чисел , значение которой равно произведению целых неотрицательных чисел от 1 до данного числа n, то есть 1∙2∙3∙ …∙ n; Обозначают символом n!.

По определению 0! = 1, 1! = 1.

Обозначение n! впервые использовал французский математик Христиан Крамп (1760 – 1826 гг.) в 1808 году.

По определению факториала имеем: , .

Пример 1. Вычислим:

Пример 2. Упростим выражение:

Пример 3. Докажем формулу .

ÿ Воспользуемся методом математической индукции.

1) При п= 1 имеем, откуда 1=1, значит для п= 1 формула верна.

2) Предположим, что формула верна, для п=к, то есть .

3) Докажем, что формула верна, для п=к+1, то есть

.

Действительно,

= , что и требовалось доказать.

На основании метода математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа п.

Пример 4. Найти сумму

Решение. Заменим каждое слагаемое разностью по формуле

.

Имеем,

= так как все слагаемые в левой части равенства, за исключением второго и предпоследнего взаимно уничтожаются.

Следовательно, =